Dérivées de vecteurs
Comment dériver un vecteur
La dérivée d’une fonction vectorielle se détermine en différentiant séparément chacune de ses composantes : $$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = \frac{d \ v_x(t)}{dt} \vec{u_x} + \frac{d \ v_y(t)}{dt} \vec{u_y} + \frac{d \ v_z(t)}{dt} \vec{u_z} $$
Ici, \( \vec{u_x} \), \( \vec{u_y} \) et \( \vec{u_z} \) désignent les vecteurs unitaires du repère, qui coïncident en général avec les axes cartésiens x, y et z.
On les note aussi couramment \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) et \( \mathbf{k} \).
Remarque. La dérivation d’un vecteur suit exactement les mêmes règles et propriétés de la dérivée que celles des fonctions réelles.
Exemple
Considérons la fonction vectorielle suivante, exprimée comme la somme de ses composantes :
$$ \vec{v(t)} = [\sin(\pi t)]\, \vec{u_x} + [2t^2]\, \vec{u_y} + [\cos(\pi t)]\, \vec{u_z} $$
Sa dérivée par rapport au temps \( t \) s’obtient en différentiant chaque composante séparément :
$$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = \left[ \frac{d}{dt} \sin(\pi t) \right] \vec{u_x} + \left[ \frac{d}{dt} 2t^2 \right] \vec{u_y} + \left[ \frac{d}{dt} \cos(\pi t) \right] \vec{u_z} $$
En effectuant les calculs, on obtient :
$$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = [\pi \cos(\pi t)]\, \vec{u_x} + [4t]\, \vec{u_y} - [\pi \sin(\pi t)]\, \vec{u_z} $$
Cette expression correspond à la dérivée temporelle du vecteur.
Dérivée d’un produit scalaire
La dérivation du produit scalaire de deux fonctions vectorielles obéit à la règle du produit : $$ \frac{d}{dt}[\vec{a} \cdot \vec{b}] = \frac{d \vec{a}}{dt} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \frac{d \vec{b}}{dt} $$
Autrement dit, la dérivée du produit scalaire se décompose en la somme de deux termes :
- le produit scalaire de la dérivée de \( \vec{a} \) avec \( \vec{b} \) ;
- le produit scalaire de \( \vec{a} \) avec la dérivée de \( \vec{b} \).
Dérivée d’un produit vectoriel
De façon analogue, la dérivation du produit vectoriel de deux vecteurs s’appuie sur une règle du produit adaptée : $$ \frac{d}{dt}[\vec{a} \times \vec{b}] = \frac{d \vec{a}}{dt} \times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{d \vec{b}}{dt} $$
On obtient ainsi la somme de deux produits vectoriels :
- celui de la dérivée de \( \vec{a} \) avec \( \vec{b} \) ;
- celui de \( \vec{a} \) avec la dérivée de \( \vec{b} \).
Le même principe s’applique à d’autres opérations vectorielles.
