Équipollence et vecteurs
On dit que deux bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents lorsqu’ils définissent des segments orientés de même longueur, de même direction et de même sens.
L’équipollence définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des bipoints.
Deux bipoints équipollents ne sont pas obligés d’avoir le même point d’origine. Ils peuvent être placés en des positions différentes dans le plan ou dans l’espace, à condition de déterminer des segments orientés ayant les mêmes caractéristiques géométriques.
Propriétés de l’équipollence
La relation d’équipollence possède les propriétés suivantes :
- Propriété réflexive. Tout bipoint est équipollent à lui-même.
- Propriété symétrique. Si le bipoint (A, B) est équipollent au bipoint (C, D), alors le bipoint (C, D) est équipollent au bipoint (A, B).
- Propriété transitive. Si le bipoint (A, B) est équipollent au bipoint (C, D) et que le bipoint (C, D) est équipollent au bipoint (E, F), alors le bipoint (A, B) est équipollent au bipoint (E, F).
Classe d’équivalence et vecteur
L’ensemble de tous les bipoints équipollents à un bipoint donné constitue une classe d’équivalence.
En géométrie vectorielle, chaque classe d’équivalence de bipoints est appelée un vecteur.
Ainsi, le vecteur noté \(\overrightarrow{AB}\) ne désigne pas seulement le bipoint (A, B), mais la classe de tous les bipoints qui lui sont équipollents.
Tous les représentants d’un même vecteur ont donc la même direction, le même sens et la même norme.
