Dérivée du produit scalaire

La dérivée du produit scalaire de deux vecteurs s’obtient en appliquant la règle du produit. Elle s’exprime comme la somme de deux produits scalaires : le premier entre la dérivée du premier vecteur et le second, le second entre le premier vecteur et la dérivée du second : $$ \frac{d \,[ \vec{a} \cdot \vec{b} ]}{dt} = \frac{d \vec{a}}{dt} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \frac{d \vec{b}}{dt} $$

En d’autres termes, la dérivée d’un produit scalaire se décompose en deux contributions :

• le produit scalaire de la dérivée de \( \vec{a} \) avec le vecteur \( \vec{b} \) ;
• le produit scalaire du vecteur \( \vec{a} \) avec la dérivée de \( \vec{b} \).

Ce résultat illustre une règle générale du calcul différentiel appliqué aux fonctions vectorielles.