Vecteur nul

Le vecteur nul est le vecteur de norme nulle dont l’origine coïncide avec l’extrémité. On le note : $$ \vec{0} = \overrightarrow{OO} $$

Autrement dit, il s’agit du vecteur dont le point de départ et le point d’arrivée sont confondus.

Le vecteur nul ne possède ni direction ni sens, et sa norme (longueur) est exactement égale à zéro.

Remarque : Le vecteur nul constitue l’élément neutre de tout espace vectoriel $ V $. Il agit comme identité additive pour tout vecteur $ \vec{v} $ de cet espace : $$ \vec{v} + \vec{0} = \vec{v} \:\:\: \forall \ \vec{v} \in V $$ De plus, la somme de deux vecteurs nuls est encore le vecteur nul : $$ \vec{0} + \vec{0} = \vec{0} $$ Enfin, l’opposé du vecteur nul n’est autre que lui-même : $$ -\vec{0} = \vec{0} $$

Tout espace vectoriel admet un unique vecteur nul, quelle que soit sa dimension. Celui-ci se caractérise par une norme nulle et par des composantes toutes égales à zéro.

Son unicité découle directement des axiomes fondamentaux des espaces vectoriels, en particulier de la définition de l’élément neutre pour l’addition.

Exemple

Dans l’espace vectoriel $ \mathbb{R} $, qui correspond à l’ensemble des réels, le vecteur nul est simplement le nombre $ 0 $, identité additive de cet espace :

$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} $$

Dans l’espace vectoriel $ \mathbb{R}^2 $, constitué de couples $(x,y)$ de réels, le vecteur nul est $ \mathbf{0} = (0,0) $, les deux composantes étant nulles :

$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

De façon générale, dans un espace vectoriel $ \mathbb{R}^n $, le vecteur nul est $ \mathbf{0} = (0,0,\dots,0) $ :

$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$

Le vecteur nul comme identité additive

La somme de tout vecteur $ \mathbf{v} $ avec le vecteur nul $ \mathbf{0} $ restitue le vecteur initial : $$ \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} $$

Cette propriété découle directement de la définition du vecteur nul en tant qu’identité additive d’un espace vectoriel.

Exemple

Soit $ \vec{v} \in \mathbb{R}^2 $ :

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Le vecteur nul dans cet espace est $ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $.

En additionnant le vecteur nul à $ \vec{v} $, on retrouve $ \vec{v} $ :

$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 + 0 \\ -2 + 0 \end{pmatrix} $$

$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$

$$ \vec{v} + \vec{0} = \vec{v} $$