Pseudo-scalaires
Un pseudo-scalaire est une grandeur physique qui, comme un scalaire ordinaire, reste inchangée lors d'une rotation, mais dont le signe s'inverse lorsqu'on applique une transformation de parité, c'est-à-dire une inversion de l'espace.
Autrement dit, un pseudo-scalaire est une grandeur scalaire dont la valeur dépend de l'orientation de l'espace.
Pour bien saisir cette notion, il est utile de commencer par rappeler ce que l'on entend par scalaire.
Différence entre un scalaire et un pseudo-scalaire
Un scalaire est une grandeur caractérisée par un seul nombre et indépendante de toute direction. Sa valeur reste la même même si l'on observe le système dans une configuration miroir.
Parmi les exemples les plus courants de grandeurs scalaires, on trouve la masse, la température et l'énergie.
Exemple. En un point (x,y) d'une surface, la température mesurée est de 22 degrés. Si l'on inverse les coordonnées spatiales ($ x \to -x $, $ y \to -y $), la température au point (-x,-y) reste égale à 22 degrés. Autrement dit, même lorsque la surface est observée « dans un miroir », la température en ce point ne change pas.
Un pseudo-scalaire, en revanche, change de signe lorsqu'on effectue une inversion spatiale :
\[ (x, y, z) \rightarrow (-x, -y, -z) \]
Si une grandeur prend la valeur \( S \), elle devient alors :
\[ S \rightarrow -S \]
Ainsi, bien qu'il s'agisse formellement d'un scalaire, un pseudo-scalaire dépend de l'orientation de l'espace.
Un exemple concret
Un exemple fondamental de pseudo-scalaire est le produit scalaire triple :
\[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \]
Du point de vue mathématique, la quantité \( S \) est un scalaire. Toutefois, elle change de signe lorsqu'on effectue une inversion spatiale.
Cette propriété provient du fait que le produit vectoriel \( \vec b \times \vec c \) est un pseudo-vecteur. Le produit scalaire entre ce pseudo-vecteur et un vecteur ordinaire \( \vec a \) conduit donc à un pseudo-scalaire.
Géométriquement, cette grandeur représente le volume orienté du parallélépipède défini par les trois vecteurs.
Considérons par exemple les vecteurs suivants dans l'espace :
\[ \vec a = (1,0,0) \]
\[ \vec b = (0,1,0) \]
\[ \vec c = (0,0,1) \]
Le produit scalaire triple s'écrit alors :
\[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \]
Calculons d'abord le produit vectoriel :
\[ \vec b \times \vec c = (1,0,0) \]
Puis le produit scalaire :
\[ S = \vec a \cdot (1,0,0) \]
\[ S = (1,0,0) \cdot (1,0,0) = 1 \]
La valeur du pseudo-scalaire est donc :
\[ S = 1 \]
Appliquons maintenant une transformation de parité, c'est-à-dire une inversion spatiale :
\[ (x,y,z) \to (-x,-y,-z) \]
Les vecteurs deviennent alors :
\[ \vec a' = (-1,0,0) \]
\[ \vec b' = (0,-1,0) \]
\[ \vec c' = (0,0,-1) \]
Recalculons le produit scalaire triple :
\[ S = \vec a' \cdot (\vec b' \times \vec c') \]
Commençons par le produit vectoriel :
\[ \vec b' \times \vec c' = (1,0,0) \]
On obtient alors :
\[ S = \vec a' \cdot (1,0,0) \]
\[ S = (-1,0,0) \cdot (1,0,0) \]
\[ S = -1 \]
La valeur numérique change donc de signe après l'inversion spatiale, ce qui caractérise précisément une transformation de parité.
\[ S = 1 \quad \longrightarrow \quad S' = -1 \]
Cela montre que le produit scalaire triple est un pseudo-scalaire. Il se comporte comme un scalaire sous les rotations, mais change de signe sous une inversion spatiale, contrairement à un scalaire véritable comme la température.
Signification physique des pseudo-scalaires
Les pseudo-scalaires apparaissent fréquemment en physique dès que l'orientation de l'espace joue un rôle essentiel. Ils interviennent notamment dans les théories où la parité n'est pas conservée, ainsi que dans les phénomènes liés à la chiralité et à l'asymétrie entre la gauche et la droite.
Ils constituent ainsi un outil conceptuel central pour comprendre de nombreux phénomènes physiques où la distinction entre droite et gauche n'est plus neutre.
