Cantidades Homogéneas

Dos magnitudes se consideran homogéneas cuando comparten la misma unidad de medida o, aun teniendo unidades distintas, estas son convertibles entre sí, lo que permite compararlas o sumarlas directamente.

Por ejemplo, dos longitudes (5 metros y 3 metros) son homogéneas porque pueden compararse:

$$5 m > 3m $$

y también sumarse:

$$ 5m + 3m = 8m $$

En cambio, no tiene sentido sumar magnitudes no homogéneas, como una longitud (5 metros) con una temperatura (30°C) o con una masa (10 kg).

Nota: Las longitudes se consideran homogéneas incluso cuando están expresadas en distintas unidades (por ejemplo, 5 metros y 3 kilómetros, o 3 pulgadas), ya que siempre es posible convertirlas a la misma unidad de medida.

¿Por qué es importante comprender las magnitudes homogéneas?

Su comprensión es fundamental porque permite comprobar la coherencia de las ecuaciones físicas mediante el análisis dimensional.

El análisis dimensional es un método que estudia la relación entre diferentes magnitudes físicas a través de sus unidades de medida.

En cualquier ecuación física, todos los términos deben ser homogéneos entre sí.

Esto garantiza que la ecuación sea lógicamente coherente, independientemente de las unidades utilizadas, y facilita la verificación de su corrección.

Si en una ecuación aparecen términos no homogéneos, es una señal inequívoca de que existe un error.

Nota: El análisis dimensional, por sí solo, no elimina por completo la posibilidad de errores. Aunque las dimensiones sean correctas, pueden existir fallos de cálculo. Sin embargo, verificar las dimensiones constituye un primer paso muy útil para asegurarse de que todo está en orden. Superada esta comprobación, es necesario confirmar que las unidades sean compatibles y que los cálculos sean correctos.

Un Ejemplo Práctico

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente ecuación física:

$$ 50 \ km/h = \frac{50 \ km}{1 \ h} $$

En el lado izquierdo tenemos una velocidad de 50 km/h, obtenida a partir de la fórmula de la velocidad media $ v = \frac{s}{t} $, es decir, el cociente entre la distancia recorrida (s = 50 km) y el tiempo empleado (t = 1 h).

Podemos expresar 50 km/h como la dimensión [L]/[T], donde [L] representa una longitud genérica (distancia recorrida, s = 50 km) y [T] un tiempo genérico (tiempo empleado, t = 1 h).

$$ \frac{[L]}{[T]} = \frac{50 \ km}{1 \ h} $$

En el lado derecho tenemos el cociente entre una longitud (50 km) y un tiempo (1 h).

Sustituimos estos dos términos por sus dimensiones respectivas: [L] en lugar de 50 km y [T] en lugar de 1 h.

$$ \frac{[L]}{[T]} =\frac{[L]}{[T]} $$

Ambos lados de la ecuación presentan las mismas dimensiones, lo que indica que se trata de magnitudes homogéneas.

Esto se debe a que la velocidad resulta de dividir una longitud (en metros) entre un tiempo (en segundos).

Así, en ambos lados de la ecuación hay un cociente entre dos magnitudes homogéneas - distancia y tiempo - que, combinadas, generan una nueva magnitud: la velocidad.

De ello se concluye que la ecuación es físicamente correcta.

Naturalmente, esto no excluye posibles errores de cálculo o la incompatibilidad entre unidades, pero ese es otro asunto.

Nota: Por comodidad, el cociente [L]/[T] puede escribirse como el producto [L][T]^-1. Es exactamente lo mismo. $$ [L][T]^{-1} = [L][T]^{-1} $$ En física, suele preferirse esta última notación porque es más compacta y fácil de leer.

Ejemplo 2

Consideremos ahora la segunda ley del movimiento de Newton:

$$ F = m \cdot a $$

donde \( F \) es la fuerza, \( m \) la masa y \( a \) la aceleración.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad de fuerza \( F \) es el newton (N).

Un newton se define como la fuerza necesaria para acelerar una masa de un kilogramo (kg) a razón de un metro por segundo cuadrado (m/s²).

Por tanto, en términos dimensionales:

$$ [F] = [M][L][T]^{-2} $$

donde \( [M] \) representa la masa, \( [L] \) la longitud y \( [T] \) el tiempo.

La masa (m) se mide en kilogramos (kg) en el SI. Dimensionalmente:

$$ [m] = [M] $$

La aceleración (a) se define como la variación de la velocidad respecto al tiempo. Su unidad es el metro por segundo cuadrado (m/s²).

Dimensionalmente:

$$ [a] = [L][T]^{-2} $$

Si sustituimos estos valores en la ecuación \( F = m \cdot a \), obtenemos:

$$  [F] = [m][a] = [M][L][T]^{-2} $$

Esto demuestra que la ecuación es coherente desde el punto de vista dimensional. Todos los términos tienen las mismas dimensiones que la fuerza, lo que confirma su validez según el análisis dimensional.

Y así sucesivamente.