Teorema de los cocientes entre magnitudes homogéneas

El cociente entre dos magnitudes homogéneas, A y B, se define como la medida de A tomando a B como unidad de referencia. $$ r = \frac{A}{B} \Longleftrightarrow A = r \cdot B $$ Si B es distinta de cero, el cociente A/B equivale al cociente entre sus medidas, M(A)/M(B), respecto a cualquier unidad de medida. $$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} $$

Esta relación es fundamental en matemáticas, geometría y física.

Cuando trabajamos con dos magnitudes homogéneas, A y B, el cociente A/B representa, en esencia, la medida de A empleando B como unidad de referencia.

$$ \frac{A}{B} $$

Conviene destacar que, si B es distinta de cero, el cociente A/B coincide siempre con el cociente de sus medidas M(A)/M(B), con independencia de la unidad utilizada.

$$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} $$

Esta expresión demuestra que el cociente entre dos magnitudes homogéneas permanece constante y no depende de las unidades específicas empleadas para medir A y B.

Esto permite comparar magnitudes de forma completamente independiente del sistema de unidades adoptado.

Este principio también recibe el nombre de principio de invariancia del cociente de magnitudes homogéneas.

Independencia de las unidades de medida. Este principio resulta esencial en numerosos ámbitos científicos y de la ingeniería, especialmente en física y matemáticas, donde las magnitudes se comparan con frecuencia utilizando diferentes sistemas de unidades. El valor del cociente se mantiene invariable frente a estas conversiones, lo que resulta especialmente útil en el trabajo con proporciones y escalas.  

Un ejemplo práctico

Consideremos dos segmentos, A y B.

El segmento A mide 10 centímetros, mientras que el segmento B mide 5 centímetros.

Para determinar el cociente de sus longitudes, basta con dividir la longitud de A entre la de B. El resultado es:

$$ \frac{10 \ cm}{5 \ cm} = 2 $$

Esto significa que el segmento A es el doble de largo que el segmento B.

Nota. Es fundamental recordar que B no puede ser cero. Un cociente cuyo divisor sea cero no está definido y conduce a resultados matemáticamente absurdos. La división por cero es imposible.

Si cambiamos las unidades de medida y expresamos las longitudes en milímetros en lugar de centímetros, el segmento A medirá 100 mm (pues 1 cm = 10 mm) y el segmento B medirá 50 mm.

El cociente entre ambos segmentos sigue siendo el mismo:

$$ \frac{100 \ mm}{50 \ mm} = 2 $$

Este ejemplo demuestra que, al comparar dos magnitudes homogéneas - como las longitudes de dos segmentos - , su cociente se mantiene constante con independencia de las unidades utilizadas.

Principio de invariancia del cociente en magnitudes derivadas

El principio de invariancia del cociente también se aplica a magnitudes derivadas como la densidad (masa/volumen) o la velocidad (distancia/tiempo).

Sin embargo, en estos casos es preciso actuar con cuidado, ya que el cociente involucra magnitudes no homogéneas y es necesario realizar las conversiones de unidades adecuadas para que la comparación tenga sentido.

Nota. En otras palabras, mientras que el cociente entre magnitudes homogéneas es directo y no requiere conversiones adicionales, el cociente entre magnitudes no homogéneas exige ajustes de unidades para garantizar comparaciones precisas y coherentes.

Ejemplo

Supongamos que queremos calcular la velocidad de un automóvil. En este caso, las magnitudes implicadas son la distancia recorrida (A) y el tiempo empleado (B).

$$ \text{Velocidad} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Tiempo}} $$

Medimos la distancia en kilómetros (A) y el tiempo en horas (B).

• Distancia (A): 120 kilómetros
• Tiempo (B): 2 horas

El cociente entre estas dos magnitudes, que corresponde a la velocidad, es:

$$ \text{Velocidad} = \frac{120 \text{ km}}{2 \text{ horas}} = 60 \text{ km/h} $$

Ahora cambiemos las unidades a metros y segundos:

• Distancia: 120.000 metros (pues 1 km = 1.000 m)
• Tiempo: 7.200 segundos (pues 1 h = 3.600 s)

El cociente, que sigue representando la velocidad, será:

$$ \text{Velocidad} = \frac{120,000 \text{ m}}{7,200 \text{ s}} = 16.67 \text{ m/s} $$

Aunque las unidades han cambiado, el valor del cociente permanece constante.

Si convertimos 60 km/h a m/s (recordando que 1 km/h equivale aproximadamente a 0,27778 m/s), obtenemos:

$$ 60 \text{ km/h} \times 0.27778 \text{ m/s por km/h} = 16.67 \text{ m/s} $$

Este ejemplo demuestra, de forma práctica, que el cociente entre dos magnitudes homogéneas permanece constante con independencia de las unidades empleadas para medirlas.

Demostración

La demostración se desarrolla en dos partes:

1] El cociente entre dos magnitudes homogéneas es igual al cociente entre sus medidas

Consideremos dos magnitudes homogéneas, A y B, con B ≠ 0, y una unidad de medida U.

$$ M(A) = a \cdot U $$

$$ M(B) = b \cdot U $$

La medida M(A) equivale a “a” veces la unidad U, mientras que M(B) equivale a “b” veces esa misma unidad.

El cociente entre ambas magnitudes es:

$$ r = \frac{A}{B} $$

Por lo tanto, A puede expresarse como “r” veces B:

$$ A = r \cdot B $$

Si representamos A y B en la unidad U, obtenemos A = a·U y B = b·U:

$$ a \cdot U = r \cdot (b \cdot U) $$

Al dividir ambos lados entre la unidad U, resulta:

$$ a = r \cdot b $$

Es decir:

$$ r = \frac{a}{b} $$

De este modo, el cociente entre las magnitudes r = A/B coincide con el cociente entre los coeficientes asociados a la unidad U:

$$ r = \frac{A}{B} = \frac{a}{b} $$

La unidad de medida U desaparece naturalmente en la simplificación.

El cociente entre las medidas es:

$$ \frac{M(A)}{M(B)} $$

Sabiendo que M(A) = a·U y M(B) = b·U:

$$ \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a \cdot U}{b \cdot U} $$

Tras simplificar, se obtiene el resultado buscado:

$$ \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a}{b} $$

En conclusión, el cociente entre A y B es igual al cociente entre sus medidas M(A)/M(B):

$$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a}{b} = r $$

Esto confirma la tesis a partir de las hipótesis iniciales.

Nota. Obsérvese que las unidades de medida U se anulan en el cociente entre magnitudes tras la simplificación algebraica.

2] El cociente entre dos magnitudes homogéneas es independiente de la unidad de medida elegida

Ahora consideremos una unidad distinta, U', para medir las magnitudes homogéneas A y B:

$$ M(A) = a' \cdot U' $$

$$ M(B) = b' \cdot U' $$

El cociente entre A y B será:

$$ r = \frac{A}{B} $$

Sustituyendo cada magnitud por su medida:

$$ r = \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a' \cdot U'}{b' \cdot U'} = \frac{a'}{b'} $$

Una vez más, el cociente es independiente de la unidad de medida U' elegida.

Observaciones adicionales

Algunas consideraciones sobre el principio de invariancia del cociente entre dos magnitudes homogéneas:

• Este principio está íntimamente vinculado con otros conceptos fundamentales, como:
  • Proporcionalidad directa
    Cuando dos magnitudes varían de forma que su cociente se mantiene constante.
  • Invariancia del cociente
    La propiedad según la cual el cociente entre dos magnitudes homogéneas permanece inalterado, independientemente de las unidades empleadas.
• Dimensionalidad y homogeneidad
  Un aspecto esencial es que las magnitudes A y B deben ser homogéneas, es decir, compartir la misma dimensión o unidad fundamental.

  Por ejemplo, es posible calcular el cociente entre dos longitudes o entre dos masas, pero carece de sentido físico calcularlo entre una longitud y una masa.

Y así sucesivamente.