Teorema de las razones entre magnitudes homogéneas

La razón entre dos magnitudes homogéneas, A y B, se define como la medida de A tomando a B como unidad de referencia. $$ r = \frac{A}{B} \Longleftrightarrow A = r \cdot B $$ Si B es distinto de cero, la razón A/B coincide con la razón entre sus medidas, M(A)/M(B), respecto a cualquier unidad de medida. $$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} $$

Esta relación es un concepto clave en matemáticas, geometría y física.

Cuando trabajamos con dos magnitudes homogéneas, A y B, la razón A/B no es más que la medida de A expresada en unidades de B.

$$ \frac{A}{B} $$

Lo esencial es que, siempre que B sea distinto de cero, la razón A/B será igual a la razón M(A)/M(B), con independencia de la unidad de medida empleada.

$$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} $$

Esta fórmula evidencia que la razón entre dos magnitudes homogéneas permanece invariable y no depende de las unidades concretas utilizadas para medir A y B.

Esto permite comparar magnitudes de manera independiente de las unidades específicas utilizadas en cada caso.

Este principio también se conoce como el de invariancia de la razón entre magnitudes homogéneas.

Independencia de las unidades de medida. Este principio resulta fundamental en numerosos ámbitos científicos y de la ingeniería, especialmente en física y matemáticas, donde es habitual comparar y medir magnitudes en distintos sistemas de unidades. La razón se mantiene constante sin importar las conversiones, lo que resulta crucial al trabajar con proporciones o escalas.  

Un ejemplo práctico

Consideremos dos segmentos, A y B.

El segmento A mide 10 centímetros, mientras que el segmento B mide 5 centímetros.

Para hallar la razón entre las longitudes de ambos segmentos, basta con dividir la longitud de A entre la de B:

$$ \frac{10 \ cm}{5 \ cm} = 2 $$

Esto significa que el segmento A es el doble de largo que el segmento B.

Nota. Es fundamental recordar que B no puede ser cero. Una razón con denominador cero no está definida y conduce a resultados matemáticamente absurdos. La división por cero es imposible.

Si cambiamos las unidades de medida y medimos en milímetros en lugar de centímetros, el segmento A tendrá 100 mm (1 cm = 10 mm) y el segmento B, 50 mm.

La razón sigue siendo la misma:

$$ \frac{100 \ mm}{50 \ mm} = 2 $$

Este ejemplo demuestra que, al comparar dos magnitudes homogéneas - por ejemplo, longitudes - , la razón se mantiene inalterada independientemente de las unidades utilizadas.

El principio de invariancia aplicado a magnitudes derivadas

El principio de invariancia de las razones también se extiende a magnitudes derivadas como la densidad (masa/volumen) o la velocidad (distancia/tiempo).

Sin embargo, en estos casos hay que actuar con cuidado, ya que la razón involucra magnitudes no homogéneas; por ello es imprescindible convertir correctamente las unidades para que la comparación sea válida.

Nota. En otras palabras, mientras que la razón entre magnitudes homogéneas se obtiene de forma directa, la razón entre magnitudes no homogéneas exige una conversión precisa de las unidades para garantizar comparaciones correctas y significativas.

Ejemplo

Supongamos que queremos calcular la velocidad de un automóvil. En este caso, la distancia recorrida (A) y el tiempo empleado (B) son las magnitudes que intervienen.

$$ \text{Velocidad} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Tiempo}} $$

Mido la distancia en kilómetros y el tiempo en horas:

• Distancia (A): 120 kilómetros
• Tiempo (B): 2 horas

La razón entre estas magnitudes, es decir, la velocidad, es:

$$ \text{Velocidad} = \frac{120 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 60 \text{ km/h} $$

Si expresamos las medidas en metros y segundos:

• Distancia: 120.000 metros (1 km = 1.000 m)
• Tiempo: 7.200 segundos (1 h = 3.600 s)

La velocidad será:

$$ \text{Velocidad} = \frac{120,000 \text{ m}}{7,200 \text{ s}} = 16.67 \text{ m/s} $$

Aunque las unidades han cambiado, la razón se conserva.

Si convertimos 60 km/h a m/s (teniendo en cuenta que 1 km/h ≈ 0,27778 m/s), obtenemos:

$$ 60 \text{ km/h} \times 0.27778 \text{ m/s por km/h} = 16.67 \text{ m/s} $$

Este ejemplo ilustra de forma clara que la razón entre dos magnitudes homogéneas permanece constante, sin importar las unidades de medida utilizadas.

Demostración

La demostración se presenta en dos partes:

1] La razón entre dos magnitudes homogéneas es igual a la razón entre sus medidas

Partamos de dos magnitudes homogéneas, A y B, con B ≠ 0, y una unidad de medida U.

$$ M(A) = a \cdot U $$

$$ M(B) = b \cdot U $$

La medida M(A) equivale a “a” veces la unidad U, mientras que M(B) equivale a “b” veces la misma unidad.

La razón entre ambas magnitudes es:

$$ r = \frac{A}{B} $$

Por lo tanto, puedo expresar A como “r” veces B:

$$ A = r \cdot B $$

Si represento A y B utilizando la unidad de medida U, tengo A = a·U y B = b·U:

$$ a \cdot U = r \cdot (b \cdot U) $$

Al dividir ambos miembros por la unidad de medida U, se obtiene:

$$ a = r \cdot b $$

Es decir:

$$ r = \frac{a}{b} $$

En consecuencia, la razón entre las magnitudes r = A/B es igual a la razón entre los coeficientes asociados a la unidad U:

$$ r = \frac{A}{B} = \frac{a}{b} $$

La unidad de medida U desaparece al simplificar.

La razón entre las medidas es:

$$ \frac{M(A)}{M(B)} $$

Sabiendo que M(A) = a·U y M(B) = b·U:

$$ \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a \cdot U}{b \cdot U} $$

Al simplificar, llegamos al resultado deseado:

$$ \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a}{b} $$

En conclusión, la razón entre A y B coincide con la razón entre M(A) y M(B):

$$ \frac{A}{B} = \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a}{b} = r $$

Esto demuestra la proposición a partir de las hipótesis iniciales.

Nota. Tras la simplificación algebraica, las unidades de medida U se eliminan y no intervienen en la razón entre las magnitudes.

2] La razón entre dos magnitudes homogéneas es independiente de la unidad de medida utilizada

Consideremos ahora una unidad de medida distinta, U', para medir las magnitudes homogéneas A y B:

$$ M(A) = a' \cdot U' $$

$$ M(B) = b' \cdot U' $$

La razón entre A y B es:

$$ r = \frac{A}{B} $$

Sustituyendo cada magnitud por su medida:

$$ r = \frac{M(A)}{M(B)} = \frac{a' \cdot U'}{b' \cdot U'} = \frac{a'}{b'} $$

Una vez más, la razón es independiente de la unidad U' elegida.

Observaciones adicionales

Algunas consideraciones sobre el principio de invariancia de la razón entre magnitudes homogéneas:

• Este principio está estrechamente relacionado con otros conceptos fundamentales, como:
  • Proporcionalidad directa
    Situación en la que dos magnitudes varían de forma que su razón permanece constante.
  • Invariancia de la razón
    La idea de que la razón entre dos magnitudes homogéneas no se ve afectada por las unidades empleadas para medirlas.
• Dimensionalidad y homogeneidad
  Es imprescindible que las magnitudes A y B sean homogéneas, es decir, que tengan la misma dimensión o unidad fundamental.

  Por ejemplo, puedo calcular la razón entre dos longitudes o entre dos masas, pero carece de sentido físico calcular la razón entre una longitud y una masa.

Y así sucesivamente.