Cuadrivector de momento

El cuadrivector de momento es una de las magnitudes fundamentales de la relatividad especial. Reúne, en una sola entidad matemática, dos conceptos que en la mecánica clásica se tratan por separado: el momento lineal $\vec{p}$ y la energía $E$.

El producto escalar entre las formas contravariante y covariante del cuadrivector de momento es un invariante de Lorentz, lo que significa que conserva el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales:

$$ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $$

A partir de esta expresión se obtiene la relación fundamental entre energía y momento de la teoría de la relatividad:

$$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$

De este modo, el cuadrivector de momento proporciona un marco geométrico unificado para la energía y el momento, garantizando que las leyes de conservación mantengan su forma covariante en cualquier sistema inercial.

Explicación y deducción

El cuadrivector contravariante del momento tiene cuatro componentes:

$$ P^\mu =( \gamma mc, \gamma m v_x,\ \gamma m v_y,\ \gamma m v_z ) $$

La primera, o componente temporal, es $P^0 = \gamma m c$, que corresponde a la energía total $E = \gamma m c^2$ dividida por $c$:

$$ P^0 = \frac{E}{c} = \frac{\gamma m c^2}{c} = \gamma m c $$

Las tres componentes espaciales restantes constituyen el momento relativista:

$$ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $$

Por tanto, el cuadrivector de momento puede escribirse de manera compacta como:

$$ P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \vec{p}\right) $$

La forma covariante del cuadrivector de momento se obtiene aplicando la métrica de Minkowski, que invierte el signo de las componentes espaciales:

$$ P_\mu = g_{\mu\nu} P^\nu $$

$$ P_\mu = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} P^\nu $$

$$ P_\mu = ( \gamma mc, -\gamma m v_x, -\gamma m v_y, -\gamma m v_z ) $$

El producto escalar entre las formas contravariante y covariante es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, es decir, mantiene el mismo valor en todos los sistemas inerciales:

$$ P^\mu P_\mu = (\gamma mc)^2 - (\gamma m v_x)^2 - (\gamma m v_y)^2 - (\gamma m v_z)^2 $$

$$ P^\mu P_\mu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - p^2 = m^2 c^2 $$

Agrupando los términos espaciales se obtiene:

$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m c)^2 - (\gamma m)^2 (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) $$

Como $v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = v^2$, resulta:

$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m)^2 (c^2 - v^2) $$

Recordando que $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $, se simplifica como:

$$ P^\mu P_\mu = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)^2 m^2 (c^2 - v^2) $$

$$ P^\mu P_\mu = \frac{1}{1 - v^2/c^2} m^2 (c^2 - v^2) $$

$$ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $$

Esto confirma que el producto escalar del cuadrivector de momento es un invariante relativista, válido en todos los sistemas inerciales.

La relación fundamental entre energía y momento

La relación fundamental entre energía y momento es: $$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$

Deducción

El cuadrivector contravariante del momento se expresa como:

$$ P^\mu = \left( \gamma mc , \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z \right) $$

Usando la métrica de Minkowski $(+,-,-,-)$, la forma covariante se obtiene como:

$$ P_\mu = \left( \gamma mc, -\gamma m v_x , -\gamma m v_y , -\gamma m v_z \right) $$

La componente temporal corresponde a la energía total dividida por $c$: $ \gamma mc = \frac{E}{c} = \frac{\gamma m c^2}{c} $

$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z \right) $$

Dado que $ \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) $, se puede escribir:

$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \gamma m \vec{v} \right) $$

y, usando $ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $, se obtiene la forma más concisa:

$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right) $$

o, equivalentemente:

$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z \right) $$

El vector covariante correspondiente es: $$ P_\mu = \left( \frac{E}{c}, -p_x, -p_y, -p_z \right) $$

Su producto escalar es entonces:

$$ P^\mu P_\mu = \left( \frac{E}{c} \right)^2 - (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) $$

$$ P^\mu P_\mu = \frac{E^2}{c^2} - p^2 $$

Como este producto escalar equivale al invariante $ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $, se puede escribir:

$$ m^2 c^2 = \frac{E^2}{c^2} - p^2 $$

Multiplicando por $ c^2 $, se obtiene:

$$ m^2 c^4 = E^2 - p^2 c^2 $$

Reordenando los términos, se llega a la forma final:

$$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$

Esta es la relación fundamental entre energía y momento en la relatividad especial. Es válida para cualquier partícula con masa ($m>0$) y muestra que la energía total $E$ incluye tanto la energía en reposo $m c^2$ como la energía cinética asociada al movimiento, $p c$.

Y así continúa.