Cuadrivectores

Un cuadrivector es un objeto matemático con cuatro componentes que se transforman de acuerdo con las reglas de las transformaciones de Lorentz: $$ a^\mu = (a^0, a^1, a^2, a^3) $$.

Se trata de la herramienta matemática que permite expresar las leyes de la física de manera covariante, es decir, con la misma forma para todos los observadores inerciales.

Los cuadrivectores se transforman exactamente igual que las coordenadas espacio-temporales bajo una transformación de Lorentz.

Existen dos tipos de cuadrivectores:

Contravariantes
Las componentes contravariantes $ a^\mu $ (con índices superiores) se asocian a desplazamientos o vectores geométricos. Geométricamente pertenecen al espacio vectorial en sí. Son las componentes habituales de un vector, como las coordenadas espacio-temporales: $$ x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z) $$. Se denominan contravariantes porque se transforman de manera opuesta a las coordenadas. Por ejemplo, si se estira el eje $x$ por un factor dos, las componentes contravariantes se reducen a la mitad, compensando así la transformación.
Covariantes
Las componentes covariantes $ a_\mu $ (con índices inferiores) se asocian a gradientes o formas lineales. Pertenecen al espacio dual, es decir, al espacio de los funcionales lineales que actúan sobre los vectores. No constituyen “nuevas coordenadas”, sino la misma información expresada en forma dual, con signos modificados según la métrica. En el espacio de Minkowski: $$ x_0 = +x^0, \quad x_1 = -x^1, \quad x_2 = -x^2, \quad x_3 = -x^3 $$ de modo que $$ x_\mu = (x^0, -x^1, -x^2, -x^3) = (ct, -x, -y, -z). $$

El producto escalar entre un vector covariante y uno contravariante constituye un invariante de Lorentz, es decir, conserva siempre el mismo valor en cualquier sistema inercial:

$$ x^\mu x_\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3) \cdot (x^0, -x^1, -x^2, -x^3) $$

$$ x^\mu x_\mu = x^0 \cdot x_0 + x^1 \cdot x_1 + x^2 \cdot x_2 + x^3 \cdot x_3 $$

$$ x^\mu x_\mu = (x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2 $$

Esta expresión no corresponde a una “norma” en el sentido euclídeo, sino al intervalo espacio-temporal: la medida relativista de la separación entre eventos, idéntica para todos los observadores.

Esta magnitud se conoce como el intervalo espacio-temporal al cuadrado:

$$ s^2 = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$

El signo de $ s^2 $ determina el tipo de separación entre dos eventos:

Si $ s^2 > 0 $, la separación es de tipo temporal: los eventos pueden conectarse mediante una partícula que se mueva a una velocidad menor que la de la luz.
Si $ s^2 = 0 $, la separación es de tipo lumínico: los eventos están ligados por una señal luminosa.
Si $ s^2 < 0 $, la separación es de tipo espacial: no existe vínculo causal posible, ya que exigiría un movimiento más rápido que la luz.

De este modo, la fórmula $ x^\mu x_\mu = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 $ resume el intervalo espacio-temporal - la “distancia” relativista entre eventos - , que resulta invariante para cualquier observador.

Nota. Es el análogo relativista de la distancia euclídea: una magnitud invariante, idéntica para todos los observadores inerciales.

Un Ejemplo Resuelto
Tipos de Cuadrivectores

Un Ejemplo Resuelto

Supongamos que una señal parte del origen en $t=0$ y, transcurridos 2 segundos, se detecta sobre el eje $x$ a $3 \times 10^8 \,\text{m}$, aproximadamente una décima parte de un año luz.

Para simplificar, fijemos las demás coordenadas espaciales: $y=0$ y $z=0$.

Las coordenadas contravariantes del evento son:

$$ x^\mu = (ct, x, y, z) = (6 \times 10^8, 3 \times 10^8, 0, 0). $$

$x^0 = ct = 6 \times 10^8 \,\text{m}$
$x^1 = x = 3 \times 10^8 \,\text{m}$
$x^2 = 0$
$x^3 = 0$

A continuación bajamos el índice aplicando la métrica $g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$:

$x_0 = +x^0 = 6 \times 10^8$
$x_1 = -x^1 = -3 \times 10^8$
$x_2 = -x^2 = 0$
$x_3 = -x^3 = 0$

Así, el cuadrivector covariante resulta:

$$ x_\mu = (6 \times 10^8, -3 \times 10^8, 0, 0). $$

La componente temporal permanece inalterada, mientras que las espaciales cambian de signo: ese es el efecto característico de la métrica de Minkowski.

Ahora calculamos el producto escalar entre los vectores contravariante y covariante, que corresponde al intervalo espacio-temporal al cuadrado:

$$ s^2 = x^\mu x_\mu $$

$$ s^2 = (6 \times 10^8)^2 - (3 \times 10^8)^2 $$

$$ s^2 = 2.7 \times 10^{17} $$

El resultado es positivo, por lo que la separación es de tipo temporal.

Esto indica que la separación entre el origen y el evento está dominada por la dimensión temporal: un observador que se mueva a una velocidad menor que la de la luz podría recorrer efectivamente ese trayecto.

Tipos de Cuadrivectores

En la práctica se utilizan distintos tipos de cuadrivectores:

Cuadriposición: $$ x^\mu = (ct, x, y, z) $$
Cuadridesplazamiento: $$ \Delta x^\mu = (c\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z) $$
Cuadrivelocidad: $$ u^\mu = \dfrac{dx^\mu}{d\tau} $$
Cuadrimomento: $$ p^\mu = m u^\mu = \left(\tfrac{E}{c}, \vec{p}\right) $$
Cuadrifuerza: $$ F^\mu = \dfrac{dp^\mu}{d\tau} $$
Cuadricorriente: $$ J^\mu = (c\rho, \vec{J}) $$
Cuadripotencial: $$ A^\mu = (\phi, \vec{A}) $$