Momento relativista
El momento relativista se define como $$ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $$ donde $ \gamma $ es el factor de Lorentz, $$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$
Esta relación, $ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $, generaliza la definición clásica del momento lineal ($ \vec{p} = m\vec{v} $) incorporando los efectos previstos por la teoría especial de la relatividad de Einstein. En este contexto, la forma relativista de la cantidad de movimiento se conoce como momento relativista.
El factor de Lorentz $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $ crece rápidamente a medida que la velocidad $ v $ se aproxima a la velocidad de la luz $ c $.
Aunque la masa en reposo $ m $ permanece constante, el momento relativista $ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $ aumenta de forma considerable con la velocidad, divergiendo hasta el infinito cuando $ v \to c $.
Por esta razón, ningún objeto con masa puede alcanzar ni superar la velocidad de la luz: hacerlo requeriría una cantidad infinita de energía.
$$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$
Con esta formulación relativista, el momento se conserva en todos los sistemas de referencia inerciales, en pleno acuerdo con el principio de relatividad.
Nota. El momento relativista $ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $ constituye la componente espacial del cuatro-vector momento: $$ P^\mu = (\gamma m c, \gamma m \vec{v}) = (\gamma m c, \gamma m v_x , \gamma m v_y , \gamma m v_z ) $$ Este cuatro-vector unifica la energía y el momento en una sola magnitud invariante, garantizando la conservación simultánea de ambas en cualquier sistema inercial.
Explicación y deducción
En la mecánica clásica, el momento (o cantidad de movimiento lineal) se define como el producto de la masa por la velocidad:
$$ \vec{p} = m \vec{v} $$
Sin embargo, esta expresión no es invariante entre sistemas inerciales, es decir, entre observadores que se desplazan unos respecto a otros con velocidad constante.
La definición clásica deja de ser válida a velocidades próximas a la de la luz ($ c $), donde el espacio y el tiempo dejan de ser absolutos y se comportan como magnitudes interdependientes.
Para mantener la coherencia con las transformaciones de Lorentz, el momento debe redefinirse de modo que se transforme correctamente entre todos los observadores inerciales.
Dentro del marco de la relatividad especial, el momento forma parte de una única entidad cuatridimensional: el cuatro-vector momento:
$$ P^\mu = m U^\mu $$
Aquí, $ m $ representa la masa invariante (o masa en reposo) del objeto, y $ U^\mu $ es el cuatro-vector velocidad:
$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma \vec{v}) = (\gamma c,\, \gamma v_x,\, \gamma v_y,\, \gamma v_z)\, $$
Por tanto,
$$ P^\mu = m U^\mu = m\, (\gamma c, \gamma \vec{v}) $$
$$ P^\mu = (\gamma m c, \gamma m \vec{v}) $$
$$ P^\mu = (\gamma m c, \gamma m v_x , \gamma m v_y , \gamma m v_z ) $$
La componente temporal $ P^0 = \gamma m c $ del cuatro-vector corresponde a la energía total $ E = \gamma m c^2 $ dividida por $ c $:
$$ P^0 = \frac{E}{c} = \frac{\gamma m c^2}{c} = \gamma m c $$
Las componentes espaciales $ P^i = \gamma m v_i $ representan el momento relativista:
$$ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $$
Esta definición garantiza que el momento se transforme de manera coherente entre todos los sistemas de referencia inerciales y que se cumpla la ley de conservación del momento.
Casos límite
En el límite no relativista, cuando la velocidad $ v $ es mucho menor que la velocidad de la luz ($ v \ll c $), el factor de Lorentz tiende a la unidad ($ \gamma \approx 1 $), y el momento relativista se reduce a la expresión clásica habitual:
$$ \vec{p} \approx m\vec{v} $$
En el límite relativista, a medida que la velocidad $ v $ se aproxima a $ c $, el factor de Lorentz crece sin límite ($ \gamma \to \infty $), lo que provoca que el momento aumente indefinidamente, aunque la velocidad misma nunca pueda alcanzar $ c $.
Relación entre energía y momento
El cuatro-vector de momento contravariante se define como:
$$ P^\mu = (\gamma m c, \gamma m \vec{v}) = (\gamma m c, \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z) $$
Para obtener su forma covariante, $ P_\mu = (\gamma m c, -\gamma m \vec{v}) $, se aplica la métrica de Minkowski con signo $(+,-,-,-)$:
$$ P_\mu = g_{\mu\nu} P^\nu $$
$$ P_\mu = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} P^\nu $$
$$ P_\mu = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} (\gamma m c, \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z) $$
$$ P_\mu = (\gamma m c, -\gamma m v_x, -\gamma m v_y, -\gamma m v_z) $$
El producto escalar entre las formas covariante y contravariante del cuatro-momento es:
$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m c \cdot \gamma m c) + (\gamma m v_x \cdot (-\gamma m v_x)) + (\gamma m v_y \cdot (-\gamma m v_y)) + (\gamma m v_z \cdot (-\gamma m v_z)) $$
$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m c)^2 - (\gamma m v_x)^2 - (\gamma m v_y)^2 - (\gamma m v_z)^2 $$
$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m c)^2 - \gamma^2 m^2 (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) $$
$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m c)^2 - \gamma^2 m^2 v^2 $$
$$ P^\mu P_\mu = \gamma^2 m^2 (c^2 - v^2) $$
Dado que el factor de Lorentz es $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $, se puede escribir:
$$ P^\mu P_\mu = m^2 \frac{c^2 - v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} $$
$$ P^\mu P_\mu = m^2 \frac{c^2 - v^2}{\frac{c^2 - v^2}{c^2}} $$
$$ P^\mu P_\mu = m^2 (c^2 - v^2) \frac{c^2}{c^2 - v^2} $$
$$ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $$
Esto demuestra que el producto escalar es invariante bajo las transformaciones de Lorentz: su valor permanece constante en todos los sistemas de referencia inerciales.
Volviendo a la expresión inicial,
$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m c)^2 - \gamma^2 m^2 v^2 $$
y recordando que $ \gamma m c = \frac{E}{c} $, se obtiene:
$$ P^\mu P_\mu = \left( \frac{E}{c} \right)^2 - \gamma^2 m^2 v^2 $$
$$ P^\mu P_\mu = \frac{E^2}{c^2} - \gamma^2 m^2 v^2 $$
Como $ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $, resulta:
$$ m^2 c^2 = \frac{E^2}{c^2} - \gamma^2 m^2 v^2 $$
Multiplicando ambos lados por $ c^2 $ se obtiene:
$$ m^2 c^4 = E^2 - \gamma^2 m^2 v^2 c^2 $$
$$ m^2 c^4 = E^2 - (\gamma m v)^2 c^2 $$
Dado que $ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $, cuyo módulo es $ |\vec{p}| = \gamma m v $, llegamos finalmente a:
$$ m^2 c^4 = E^2 - p^2 c^2 $$
$$ E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2 $$
Esta es la relación fundamental entre energía y momento, una ecuación invariante de Lorentz.
El término $ m^2 c^4 $ representa la energía en reposo $ E_0 = m c^2 $, mientras que $ p^2 c^2 $ corresponde a la contribución cinética asociada al movimiento. La suma de ambos términos da la energía total de una partícula relativista.
Casos límite
La ecuación general $ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $ es válida tanto para partículas con masa como para partículas sin masa. Consideremos dos situaciones representativas:
- Partícula con masa en reposo
Cuando una partícula está en reposo con respecto al observador, su momento es nulo ($ p = 0 $). La relación se simplifica a:
$$ E^2 = 0 + m^2 c^4 $$ $$ E^2 = m^2 c^4 $$ $$ E = m c^2 $$ En este caso, la energía total coincide con la energía en reposo $ E_0 $, la energía intrínseca que posee un cuerpo incluso en ausencia de movimiento - la célebre ecuación de Einstein. - Partícula sin masa (por ejemplo, un fotón)
Para una partícula sin masa ($ m = 0 $), la ecuación se reduce a:
$$ E^2 = p^2 c^2 + 0 \cdot c^4 $$ $$ E^2 = p^2 c^2 $$ $$ E = p c $$ Esta relación describe a los fotones y a todas las partículas sin masa, que nunca pueden estar en reposo y se desplazan siempre a la velocidad de la luz $ c $. Su energía depende únicamente de su momento -o, de forma equivalente, de su frecuencia:
$$ E = h\nu = \frac{h c}{\lambda} $$
Estos dos casos límite ilustran cómo la relación energía-momento relativista unifica la dinámica de la materia y de la radiación en un mismo marco conceptual. Para las partículas con masa, reproduce la energía en reposo $ E_0 = m c^2 $; para las partículas sin masa, describe la energía puramente cinética asociada a su propagación a la velocidad de la luz. En ambos casos, energía y momento permanecen ligados por una única ley invariante de Lorentz, válida para todos los observadores en cualquier sistema inercial.
Ejemplo numérico
Consideremos una partícula de masa $ m = 1\ \text{kg} $ que se mueve con una velocidad $ v = 0.6c $.
El factor de Lorentz es:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.6c)^2 / c^2}} = 1.25 $$
El momento de la partícula es:
$$ p = \gamma m v = 1.25 \times 1\ \text{kg} \times 0.6c $$
$$ p = (0.75\ \text{kg}) \cdot c $$
Usando $ c = 3\times10^8\ \text{m/s} $ (aproximadamente 300 000 km/s):
$$ p = 0.75\ \text{kg} \times 3 \times 10^8\ \text{m/s} $$
$$ p = 2.25 \times 10^8\ \text{kg·m/s} $$
La energía total es:
$$ E = \gamma m c^2 = 1.25 \times 1\ \text{kg} \times (3\times10^8\ \text{m/s})^2 $$
$$ E = 1.25 \times 9\times10^{16}\ \text{kg·m}^2\text{/s}^2 $$
$$ E = 1.125 \times10^{17}\ \text{J} $$
Este ejemplo numérico confirma la consistencia interna de la relación energía-momento relativista y muestra cómo tanto la energía como el momento aumentan conjuntamente a medida que la velocidad se aproxima al límite impuesto por la luz.
