Energía relativista
La energía relativista de un cuerpo con masa $ m $ que se mueve a velocidad $ v $ se expresa como $$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$ donde $ c $ es la velocidad de la luz. A velocidades pequeñas, cuando $ v \ll c $, esta ecuación puede aproximarse como $$ E \approx m c^2 + \tfrac{1}{2} m v^2 $$ En general, para cualquier velocidad, la energía también puede escribirse en función del momento lineal $ p $ como $$ E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2 $$
En la relatividad especial, la masa y la energía no son magnitudes distintas, sino dos manifestaciones de una misma realidad física.
Todo cuerpo con masa en reposo $ m $ posee una energía intrínseca llamada energía en reposo, descrita por la famosa ecuación de Einstein:
$$ E_0 = m c^2 $$
Cuando el cuerpo está en movimiento, su energía total es la suma de su energía en reposo y de la energía asociada a su movimiento, formando la energía relativista total:
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
A bajas velocidades ($ v \ll c $), esta expresión se reduce a la suma de la energía en reposo y de la conocida energía cinética clásica $ \tfrac{1}{2} m v^2 $.
$$ E \approx m c^2 + \tfrac{1}{2} m v^2 $$
A medida que la velocidad se aproxima a la de la luz ($ v \to c $), el factor de Lorentz $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $ crece sin límite, lo que significa que la energía necesaria para seguir aumentando la velocidad tiende al infinito.
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma mc^2 = \infty $$
Por esta razón, ningún objeto con masa distinta de cero ($ m>0 $) puede alcanzar la velocidad de la luz $ c $, ya que requeriría una cantidad infinita de energía.
Sin embargo, sabemos que algunas partículas - como los fotones - sí se desplazan exactamente a la velocidad de la luz.
¿Por qué los fotones pueden viajar a la velocidad de la luz?
Las partículas sin masa ($ m=0 $), como los fotones, no obedecen la relación $ E = \gamma m c^2 $. En su caso, se cumple la relación general entre energía y momento:
$$ E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2 $$
Si $ m = 0 $, esta ecuación se simplifica a $ E = p c $, lo que indica que la energía es directamente proporcional al momento lineal.
$$ E = pc $$
Esto explica por qué los fotones poseen energía $ E $ y momento $ p $ finitos, a pesar de no tener masa en reposo ($ m=0 $), y por qué siempre se mueven a la velocidad de la luz $ c $.
Nota. De acuerdo con la ley de Planck, la energía de un fotón es una cantidad finita y se determina mediante la expresión $ E = h \nu $, donde $ h $ es la constante de Planck y $ \nu $ corresponde a la frecuencia del fotón.
Explicación y desarrollo
En la mecánica clásica, la energía total de un cuerpo se obtiene sumando su energía potencial $ U $, su energía cinética $ K = \tfrac{1}{2}mv^2 $ y, eventualmente, otras formas de energía (como la gravitatoria o la elástica).
En la relatividad especial, esta separación deja de ser válida. Cuando un cuerpo se mueve a velocidades comparables con la de la luz, la relación entre masa, energía y velocidad cambia radicalmente.
Einstein demostró que todo cuerpo de masa $ m $ posee una energía total dada por:
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} $$
donde:
- $ c $ es la velocidad de la luz,
- $ v $ es la velocidad del cuerpo,
- $ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $ es el factor de Lorentz.
De esta ecuación se deduce que un cuerpo posee una energía $ E_0 $ incluso estando en reposo ($ v = 0 $):
$$ E_0 = m c^2 $$
Este resultado emblemático de Einstein muestra que la masa es una forma de energía.
En otras palabras, masa y energía son equivalentes: una puede transformarse en la otra.
Veamos ahora los dos regímenes fundamentales: el de bajas velocidades (límite clásico) y el que se aproxima a la velocidad de la luz (régimen relativista).
El límite de bajas velocidades
Cuando $ v $ es mucho menor que $ c $ - es decir, $ v \ll c $ - el factor de Lorentz tiende a la unidad: $ \gamma \approx 1 $.
$$ \lim_{v \to 0} \gamma = \lim_{v \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 1 $$
Así, la energía total $ E = \gamma mc^2 $ se reduce a la energía en reposo $ E_0 = mc^2 $.
$$ E \approx E_0 = mc^2 $$
Para analizar con más detalle este límite, podemos expandir el factor de Lorentz mediante una serie de Taylor.
Primero, reescribimos el factor de Lorentz en forma de potencia:
$$ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} $$
El desarrollo en serie de Taylor de un binomio general, válido para cualquier exponente $ \alpha $ cuando $ |x| < 1 $, es:
$$ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3 + \cdots $$
En este caso, $ \alpha = -\tfrac{1}{2} $ y $ x = -\dfrac{v^2}{c^2} $.
$$ (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} = 1 + ( - \frac{1}{2} ) \cdot ( - \frac{v^2}{c^2} ) + \frac{1}{2!} \cdot ( - \frac{1}{2} ) \cdot ( - \frac{3}{2} ) \cdot ( - \frac{v^2}{c^2} )^2 + \cdots $$
$$ (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4} + \cdots $$
Desarrollar una función en serie de Taylor significa aproximarla alrededor de un punto determinado - en este caso, cerca de $ v = 0 $.
Esto muestra que los términos sucesivos son cada vez menores:
$$ (\frac{v^2}{c^2} \ll 1), (\frac{v^4}{c^4} \ll \frac{v^2}{c^2}), ... $$
Por lo tanto, conservar únicamente los primeros términos ofrece una excelente aproximación en el límite clásico:
$$ \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} $$
Los términos de orden superior son despreciables cuando $ v \ll c $.
Si sustituimos esta aproximación en la expresión de la energía relativista, obtenemos:
$$ E = \gamma mc^2 = (1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}) \cdot mc^2 $$
$$ E = mc^2 + \frac{1}{2} mv^2 $$
El primer término, $ m c^2 $, es constante y representa la energía en reposo; el segundo término, $ \tfrac{1}{2} m v^2 $, corresponde a la energía cinética clásica.
De este modo, la mecánica clásica surge naturalmente como el límite de bajas velocidades de la teoría de la relatividad especial.
El régimen de altas velocidades
Cuando la velocidad $ v $ de un cuerpo se aproxima a la de la luz $ c $ ($ v \to c $), su energía cinética aumenta de forma desmesurada incluso ante las variaciones más pequeñas de velocidad.
Para un cuerpo con masa en reposo $ m $, la energía relativista total se expresa como:
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
Esta energía total está compuesta por dos partes: la energía en reposo $ E_0 $ y la energía cinética $ K $ asociada al movimiento, de acuerdo con la relación
$$ E = E_0 + K $$
Por definición, la energía cinética se obtiene como la diferencia entre la energía total $ E $ y la energía en reposo $ E_0 $:
$$ K = E - E_0 $$
Como $ E = \gamma mc^2 $, resulta:
$$ K = \gamma mc^2 - E_0 $$
En el caso de un cuerpo en reposo ($ v = 0 $), el factor de Lorentz vale uno ($ \gamma = 1 $), de modo que la energía en reposo es
$$ E_0 = \gamma mc^2 = 1 \cdot mc^2 = mc^2 $$
Al sustituir $ E_0 = mc^2 $ en la expresión de $ K $, se obtiene:
$$ K = \gamma mc^2 - mc^2 $$
$$ K = mc^2 (\gamma - 1) $$
Esta es la energía cinética relativista, definida como la diferencia entre la energía total y la energía en reposo: $ K = E - E_0 $. A diferencia de la expresión clásica $ \tfrac{1}{2}mv^2 $, esta fórmula es válida para cualquier velocidad.
Cuando $ v \to c $, el factor de Lorentz crece sin límite ($ \gamma \to \infty $):
$$ \lim_{v \to c} \gamma = \lim_{v \to c} \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \infty $$
En consecuencia, la energía necesaria para seguir acelerando el cuerpo también tiende al infinito:
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma mc^2 = mc^2 \cdot \lim_{v \to c} \gamma = \infty $$
Por ello, ningún objeto con masa distinta de cero puede alcanzar la velocidad de la luz, ya que para hacerlo requeriría una cantidad infinita de energía ($ E \to \infty $).
$$ E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$
Desde un punto de vista matemático, esta divergencia se produce porque el numerador ($ mc^2 $) es positivo para $ m>0 $, mientras que el denominador tiende a cero desde valores positivos ($ 0^+ $), haciendo que $ E $ crezca sin límite.
¿Qué ocurre si una partícula no tiene masa?
En una partícula sin masa, como un fotón, el numerador $ mc^2 $ también se anula ($ m = 0 $):
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma mc^2 = mc^2 \cdot \lim_{v \to c} \gamma = \frac{0}{0} $$
Este límite es indeterminado, lo que significa que no necesariamente tiende al infinito.
En este caso, la relación adecuada es la ecuación general entre energía y momento lineal:
$$ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 $$
donde $ p = \gamma m v $ es el momento relativista.
Esta ecuación es válida para todas las partículas, con o sin masa, y proporciona una descripción unificada de ambos tipos:
- para $ m>0 $, describe partículas con masa;
- para $ m=0 $, describe partículas sin masa.
Por tanto, constituye la forma más general de la relación relativista entre energía y momento.
En el caso de una partícula sin masa ($ m=0 $), la ecuación se reduce a:
$$ E^2 = (pc)^2 $$
Al tomar la raíz cuadrada de ambos miembros se obtiene:
$$ \sqrt{E^2} = \sqrt{(pc)^2} $$
$$ E = pc $$
De modo que, para una partícula sin masa, su energía es igual a su momento multiplicado por la velocidad de la luz:
$$ E = p c $$
Esta es la expresión general de la energía para partículas sin masa, como los fotones.
Veamos ahora qué sucede con el momento $ p $ cuando $ v \to c $:
$$ \lim_{v \to c} p = \lim_{v \to c} \gamma m v = \lim_{v \to c} \frac{m v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{0}{0} $$
De nuevo, cuando $ m = 0 $, la expresión adopta una forma indeterminada $ 0/0 $.
No obstante, si la masa tiende a cero ($ m \to 0 $) al mismo ritmo que el denominador tiende a cero ($ \sqrt{1 - v^2/c^2} \to 0 $), el límite resulta finito:
$$ m \propto \sqrt{1 - v^2/c^2} \Rightarrow p = \text{finito}, \quad E = p c = \text{finito} $$
Si el momento $ p $ es finito, también lo será la energía $ E = p c $ cuando $ v \to c $.
Esto describe con precisión el comportamiento de los fotones: poseen energía $ E $ y momento $ p $ finitos, aunque su masa en reposo sea nula ($ m = 0 $).
Los fotones existen exactamente en este límite: no pueden moverse a velocidades inferiores a $ c $, sino únicamente a $ v = c $, donde la ecuación $ E = \gamma mc^2 $ deja de ser válida y se reemplaza por $ E = pc $.
Nota. En la mecánica clásica, la energía mecánica total - la suma de la energía cinética y la potencial - se conserva. En la relatividad, en cambio, la masa misma representa una forma de energía, $ E_0 = m c^2 $. Por ello, el principio de conservación se amplía para incluir la energía en reposo. Cuando la masa de un sistema disminuye, la energía liberada aumenta en igual proporción, y viceversa: $$ \Delta E = -\,\Delta m\, c^2 $$ Este es el significado profundo de la ecuación de Einstein: masa y energía son equivalentes e intercambiables, aunque su suma total permanezca constante.
Y así sucesivamente.
