Cuadrivector posición
En la relatividad especial, el espacio y el tiempo no se consideran entidades independientes, sino que se unifican en un único objeto matemático: el vector de cuadriposición $$ x^\mu = (ct, \; x, \; y, \; z), \quad \mu=0,1,2,3 $$ donde $ ct $ corresponde a la componente temporal, con \( c \) la velocidad de la luz.
El factor $ c $ (expresado en $ m/s $) se introduce para homogeneizar las unidades de todas las componentes.
En efecto, el tiempo $ t $ se mide en segundos, mientras que las coordenadas espaciales $ x, y, z $ se expresan en metros:
$$ ( t, x, y, z ) $$
Un vector que mezcla segundos y metros carece de significado físico, ya que sus componentes no pueden combinarse de forma coherente.
Al multiplicar por $ c $, el producto $ ct $ convierte el tiempo en una magnitud de longitud (en metros):
$$ ( ct, x, y, z ) $$
De esta manera, todas las componentes del cuadrivector posición comparten la misma dimensión física.
Nota. Es habitual escribir el cuadrivector posición en forma más compacta, definiendo \( x^0 = ct , \; x^1 = x, \; x^2 = y, \; x^3 = z \): $$ x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3), \quad \mu=0,1,2,3 $$ Aquí $ x^0, x^1, x^2, x^3 $ no representan potencias de $ x $, sino las cuatro componentes del cuadrivector: $ x^0 $ es la primera, $ x^1 $ la segunda, y así sucesivamente.
Transformación de Lorentz
La transformación de Lorentz relaciona las coordenadas de un mismo suceso medidas en el sistema \( S \) con las del sistema \( S' \), que se mueve con velocidad \( v \) a lo largo del eje \( x \).
$$
\begin{cases}
t' &= \gamma\left(t - \tfrac{v}{c^2}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Para mantener la coherencia de las unidades, se multiplica la primera ecuación por $ c $:
$$
\begin{cases}
ct' &= c \gamma\left(t - \tfrac{v}{c^2}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Que se puede reescribir como:
$$
\begin{cases}
ct' &= \gamma\left(ct - \tfrac{v}{c}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Expresando la segunda ecuación $ \gamma(x - vt) $ como $ \gamma(x - vt \cdot \tfrac{c}{c}) $ se obtiene:
$$
\begin{cases}
ct' &= \gamma\left(ct - \tfrac{v}{c}x\right) \\
x' &= \gamma\!\left(x - \tfrac{v}{c} ct\right) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Si definimos $ x^0 = ct $ y $ x^{0'} = ct' $, junto con $ x^1 = x , x^2 = y , x^3 = z $, el sistema queda:
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\!\left(x^0 - \tfrac{v}{c}x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma\!\left(x^1 - \tfrac{v}{c} x^0\right) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
Introduciendo la notación $ \beta = \tfrac{v}{c} $, resulta:
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\!\left(x^0 - \beta x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma\!\left(x^1 - \beta x^0\right) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
donde
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} $$
En forma compacta, aplicando la convención de suma de Einstein, la expresión es:
$$ x^{\mu'} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^\nu $$
donde $ \Lambda^{\mu}{}_{\nu} $ es la matriz de Lorentz:
$$
\Lambda =
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\
-\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Esta matriz 4×4 actúa sobre el vector columna \( (x^0, x^1, x^2, x^3)^T \) y genera el quadrivector transformado:
$$ x^{\mu'} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^\nu $$
$$ \begin{pmatrix}
x^{0'} \\
x^{1'} \\
x^{2'} \\
x^{3'}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\
-\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^0 \\
x^1 \\
x^2 \\
x^3
\end{pmatrix}
$$
Al efectuar el producto fila-columna se recuperan las ecuaciones de transformación:
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\!\left(x^0 - \beta x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma\!\left(x^1 - \beta x^0\right) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
Y así sucesivamente.
