Vector de Cuadrivelocidad

En términos sencillos, la cuadrivelocidad representa la velocidad medida con respecto al tiempo propio $ \tau $ de un objeto.

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} $$

El producto escalar entre las formas contravariante y covariante de la cuadrivelocidad es constante en todos los sistemas inerciales, lo que la convierte en un invariante relativista:

$$ U^\mu U_\mu = c^2 $$

Este valor se mantiene idéntico para cualquier observador, independientemente del sistema de referencia inercial empleado.

Explicación y Deducción

La cuadrivelocidad se define como la derivada del cuadrivector posición $x^\mu = ( ct, x, y, z )$ con respecto al tiempo propio $\tau$ del objeto:

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} $$

Esta definición describe cómo varían las coordenadas espacio-temporales de una partícula en función de su propio tiempo, es decir, del tiempo medido en el sistema donde la partícula permanece en reposo.

Desarrollando sus cuatro componentes, obtenemos:

$$ U^\mu = \left( \frac{d(ct)}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau} \right) $$

El primer término corresponde a la componente temporal ($ct$), mientras que los tres restantes representan las componentes espaciales ($x, y, z$).

La derivada con respecto a $\tau$ indica cuánto cambia cada coordenada por unidad de tiempo propio.

Como el tiempo propio y el tiempo de coordenadas están relacionados por el factor de Lorentz $ \gamma $,

$$ d\tau = \frac{dt}{\gamma}, \qquad \text{donde } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$

podemos reescribir la derivada de la siguiente forma:

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \frac{dx^\mu}{dt} \cdot \frac{dt}{d\tau} $$

Como $ d\tau = \frac{dt}{\gamma} $, se tiene $ \gamma = \frac{dt}{d\tau} $, y por tanto:

$$ U^\mu = \gamma \frac{dx^\mu}{dt} $$

Este paso permite expresar la cuadrivelocidad en función del tiempo de coordenadas $t$, medido por un observador externo.

Desarrollando las derivadas:

$$ U^\mu = \gamma \frac{d}{dt}(ct, x, y, z) $$

$$ U^\mu = \gamma \left( \frac{d(ct)}{dt}, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) $$

En esencia, cada componente de la velocidad ordinaria se multiplica por el factor $\gamma$.

$$ \frac{d(ct)}{dt} = c $$

$$ \frac{dx}{dt} = v_x, \qquad \frac{dy}{dt} = v_y, \qquad \frac{dz}{dt} = v_z $$

Por lo tanto, las componentes explícitas de la cuadrivelocidad contravariante son:

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) $$

o, de manera más compacta:

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma \vec{v}) $$

La componente temporal es $\gamma c$, mientras que la parte espacial corresponde a $\gamma$ multiplicado por la velocidad ordinaria $\vec{v}$.

Para obtener la cuadrivelocidad covariante, se baja el índice mediante la métrica de Minkowski con signo $(+ - - -)$:

$$ U_\mu = g_{\mu\nu} U^\nu $$

Aquí, $ g_{\mu\nu} $ es el tensor métrico que invierte el signo de las componentes espaciales:

$$ g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Al realizar el producto se obtienen las componentes explícitas de la cuadrivelocidad covariante:

$$ U_\mu = (U_0, U_1, U_2, U_3) = (\gamma c, -\gamma v_x, -\gamma v_y, -\gamma v_z) $$

o, de forma más concisa:

$$ U_\mu = (\gamma c, -\gamma \vec{v}) $$

Como era de esperar, la componente temporal se mantiene positiva, mientras que las espaciales cambian de signo, reflejando la estructura pseudo-euclídea del espacio-tiempo.

Calculemos ahora el producto escalar entre las formas contravariante y covariante:

$$ U^\mu U_\mu = U^0 U_0 + U^1 U_1 + U^2 U_2 + U^3 U_3 $$

Sustituyendo las componentes explícitas:

$$ U^\mu U_\mu = (\gamma c)(\gamma c) + (\gamma v_x)(-\gamma v_x) + (\gamma v_y)(-\gamma v_y) + (\gamma v_z)(-\gamma v_z) $$

$$ U^\mu U_\mu = \gamma^2 (c^2 - v_x^2 - v_y^2 - v_z^2) $$

$$ U^\mu U_\mu = \gamma^2 (c^2 - v^2) $$

donde $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$.

Como $\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, al sustituir obtenemos:

$$ U^\mu U_\mu = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)^2 (c^2 - v^2) $$

$$ U^\mu U_\mu = \frac{c^2 - v^2}{1 - v^2/c^2} $$

$$ U^\mu U_\mu = \frac{c^2 - v^2}{ \frac{c^2 - v^2}{c^2}} $$

$$ U^\mu U_\mu = (c^2 - v^2) \cdot \frac{c^2}{c^2 - v^2} $$

$$ U^\mu U_\mu = c^2 $$

Los términos que dependen de $v$ se cancelan, quedando como resultado final $c^2$, independiente de la velocidad del objeto.

En otras palabras, $U^\mu U_\mu = c^2$ constituye un auténtico invariante: su valor es el mismo para cualquier observador inercial, aunque $\gamma$ y $\vec{v}$ varíen de un sistema a otro.

Aunque las componentes individuales de $U^\mu$ se transforman al cambiar de referencia, su “longitud” en el espacio-tiempo -la norma de la cuadrivelocidad- permanece constante e igual a $c^2$.

Esto demuestra que el producto escalar entre $U^\mu$ y $U_\mu$ es un invariante relativista, idéntico para todos los observadores.

Un Ejemplo Práctico

Consideremos una nave espacial que se desplaza a $0.6c$ a lo largo del eje $x$:

$$ v = 0.6c $$

Calculemos el factor de Lorentz:

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.6^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.64}} = 1.25 $$

El factor $\gamma$ indica cuánto más lentamente transcurre el tiempo propio de la nave respecto al tiempo de coordenadas.

La cuadrivelocidad contravariante es entonces:

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) $$

Como el movimiento se produce únicamente a lo largo del eje $x$:

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v, 0, 0) $$

Sustituyendo los valores numéricos:

$$ U^\mu = (1.25c, 1.25 \times 0.6c, 0, 0) $$

$$ U^\mu = (1.25c, 0.75c, 0, 0) $$

La primera componente representa la “velocidad temporal”, mientras que las restantes forman la parte espacial, escalada por el factor $\gamma$.

La forma covariante, aplicando la métrica de Minkowski, resulta:

$$ U_\mu = (1.25c, -0.75c, 0, 0) $$

Las componentes espaciales cambian de signo debido a la métrica.

Calculemos ahora el producto escalar:

$$ U^\mu U_\mu = U^0 U_0 + U^1 U_1 + U^2 U_2 + U^3 U_3 $$

$$ U^\mu U_\mu = (1.25c)(1.25c) + (0.75c)(-0.75c) + (0 \cdot 0) + (0 \cdot 0) $$

$$ U^\mu U_\mu = 1.5625c^2 - 0.5625c^2 = 1.0c^2 $$

$$ U^\mu U_\mu = c^2 $$

Este ejemplo numérico confirma que el producto escalar entre ambas formas de $U$ es independiente de la velocidad y siempre equivale a $c^2$, un invariante relativista fundamental.

Y esa es, en esencia, la idea fundamental.