Intervalo espacio-tiempo

El intervalo espacio-tiempo mide la separación entre dos sucesos en el continuo espacio-temporal. $$ I = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$ También se conoce como intervalo de Minkowski.

No se trata de una “distancia” en el sentido euclidiano habitual, sino de una magnitud que permanece invariante al pasar de un sistema de referencia inercial a otro. En otras palabras, todos los observadores inerciales obtienen el mismo valor.

Por este motivo, también se le denomina invariante espacio-temporal. Sirve para cuantificar la separación entre dos sucesos A y B en el espacio-tiempo.

El signo de (I) determina la naturaleza de esa separación:

• Si (I > 0), la separación es de tipo temporal (timelike)
  Los dos sucesos pueden estar conectados por un objeto que se mueva a una velocidad menor que la de la luz (c). Esto implica que existe la posibilidad de una relación causal: el suceso A podría influir en el suceso B.
• Si (I = 0), la separación es de tipo nulo (lightlike)
  Los dos sucesos solo pueden estar relacionados mediante algo que se desplace exactamente a la velocidad de la luz, como un fotón.
• Si (I < 0), la separación es de tipo espacial (spacelike)
  En este caso, los sucesos no pueden conectarse ni siquiera mediante la luz. No hay posibilidad de influencia causal porque ninguna señal puede propagarse lo bastante rápido para enlazarlos.

En términos sencillos, el intervalo espacio-tiempo indica si dos sucesos pueden influirse mutuamente o no.

Es el análogo relativista de la distancia euclidiana, con una diferencia fundamental: el tiempo y el espacio aparecen en la ecuación con signos opuestos.

Un ejemplo práctico

Imaginemos un destello de luz emitido en el origen (O).

Para simplificar, supongamos que el destello se propaga a lo largo del eje x, de modo que las coordenadas y y z permanecen inalteradas.

Consideremos los siguientes dos sucesos:

• Suceso A (el origen): \[ \begin{cases} t_A = 0 \\ x_A = 0 \\  y_A=0 \\ z_A=0 \end{cases} \] El cuatro-vector de posición del suceso A es $$ x_A^\mu = (c \cdot t_A, x_A, y_A, z_A) = (c \cdot 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) $$
• Suceso B (llegada del destello): \[  \begin{cases} t_B = 1 \\ \text{s} \\ x_B = c \cdot t = 3 \times 10^8 \; \text{m} \\ y_B = 0 \\ z_B = 0 \end{cases} \] El cuatro-vector de posición del suceso B es $$ x_B^\mu = (ct_B, x_B, y_B, z_B) = (3 \times 10^8, \; 3 \times 10^8, \; 0, \; 0) $$

Calculemos ahora el intervalo espacio-temporal:

$$ I = (ct_B - ct_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 $$

$$ I = (3 \times 10^8 - 0)^2 - (3 \times 10^8 - 0)^2 - (0-0)^2 - (0-0)^2 $$

$$ I = (3 \times 10^8)^2 - (3 \times 10^8)^2 - 0 - 0 $$

$$ I = 0 $$

Como $ I=0 $, el intervalo es nulo: el suceso B solo puede alcanzarse desde A mediante una señal que viaje exactamente a la velocidad de la luz.

En este caso, los dos sucesos están separados por un intervalo espacio-temporal nulo. Se encuentran sobre el cono de luz del origen. Solo la luz (o cualquier otra partícula sin masa que se mueva a c) puede conectarlos.

Ejemplo 2

Consideremos ahora una señal que parte del origen (O) y llega a un punto del espacio-tiempo con \( t = 2 \,\text{s} \) y \( x = 3 \times 10^8 \,\text{m} \).

Los sucesos son:

• Suceso A (origen): \[ \begin{cases} t_A = 0 \\ x_A = 0 \\  y_A=0 \\ z_A=0 \end{cases} \] El cuatro-vector de posición del suceso A es $$ x_A^\mu = (c \cdot t_A, x_A, y_A, z_A) = (c \cdot 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) $$
• Suceso B (llegada de la señal): \[ \begin{cases} t_B = 2 \,\text{s} \\ x_B = 3 \times 10^8 \,\text{m} \\ y_B=0 \\ z_B=0  \end{cases} \] El cuatro-vector de posición del suceso B es $$ x_B^\mu = (ct_B, x_B, y_B, z_B) = (6 \times 10^8, \; 3 \times 10^8, \; 0, \; 0) $$

Calculemos ahora el intervalo espacio-temporal entre ambos sucesos:

$$ I = (ct_B - ct_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 $$

$$ I = (6 \times 10^8 - 0 )^2 - (3 \times 10^8 - 0)^2 - (0-0)^2 - (0-0)^2 $$

$$ I = 36 \times 10^{16} - 9 \times 10^{16} $$

$$ I = 27 \times 10^{16} > 0 $$

En este caso el intervalo es $ I>0 $, por lo que es temporal: A y B pueden conectarse mediante un objeto físico que se desplace a una velocidad menor que \( c \). En otras palabras, una partícula con masa o un observador podrían viajar de A a B.

Ambos sucesos se encuentran dentro del cono de luz, y hasta una señal más lenta que la luz puede unirlos.

Y así sucesivamente.