Velocidad ordinaria y velocidad propia
En la física relativista existen dos formas de definir la velocidad:
- La velocidad ordinaria (o de coordenadas), representada por $v$, es la velocidad calculada con respecto al tiempo de laboratorio $t$. $$ v = \frac{dx}{dt} $$ Es la que se estudia en la física clásica. Aquí, $dx$ es el desplazamiento espacial medido por un observador externo, mientras que $dt$ corresponde al tiempo medido en el sistema del observador (es decir, en el laboratorio). En la relatividad especial, esta magnitud representa la velocidad del objeto tal como la percibe el sistema externo respecto al cual se encuentra en movimiento.
- La velocidad propia, designada por $\eta$, se calcula en función del tiempo propio $ \tau $ del objeto en movimiento. $$ \eta = \frac{dx}{d\tau} $$ Esta cantidad indica el espacio recorrido por el objeto con respecto al tiempo que transcurre para él mismo.
Ambas magnitudes coinciden únicamente en el límite de la mecánica clásica. En la relatividad especial, en cambio, difieren cada vez más a medida que la velocidad se aproxima a la de la luz.
La distinción entre la velocidad ordinaria $v$ y la velocidad propia $\eta$ resulta esencial cuando se incorpora el tiempo propio al análisis del movimiento.
¿Cuál es la relación entre ambas velocidades?
Entre $\eta$ y $v$ existe una relación sencilla, pero fundamental:
$$ \eta = \gamma v $$
donde $\gamma$ es el factor de Lorentz:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
o, de forma equivalente,
$$ v=\frac{\eta}{\sqrt{1+\left(\frac{\eta}{c}\right)^2}} $$
Como $\gamma \geq 1$, se deduce que la velocidad propia es siempre mayor que la velocidad ordinaria:
$$ \eta \geq v $$
Las dos velocidades son iguales solo cuando la velocidad ordinaria es nula ($v = 0$), es decir, cuando el objeto está en reposo.
Nota. Según la teoría de la relatividad especial, ningún objeto puede superar la velocidad de la luz. Este límite relativista se aplica únicamente a la velocidad ordinaria $ v < c $. Por tanto, incluso si la velocidad propia $ \eta $ alcanza valores muy grandes, la velocidad ordinaria $ v $ no puede exceder la velocidad de la luz $ c $. $$ v=\frac{\eta}{\sqrt{1+(\eta/c)^2}}<c $$ En otras palabras, la velocidad propia no infringe los principios de la relatividad. De hecho, ni la velocidad ordinaria $ v $ ni la velocidad propia $ \eta $ describen por completo el movimiento relativista: este se representa mediante el cuatrivector velocidad $ U^\mu = (\gamma c,, \gamma \vec{v}) $, que indica la dirección del movimiento en el espacio-tiempo. Su norma, igual a $ -c^2 $, es la misma para todos los observadores y refleja la invariancia del tiempo propio.
Ejemplo práctico
Supongamos que un objeto - por ejemplo, una nave espacial - se desplaza a lo largo de una trayectoria rectilínea con una velocidad constante $v = 0{,}6c$, donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.
El factor de Lorentz $\gamma$ se calcula mediante la expresión:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
Sustituyendo $v = 0{,}6c$:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}6)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25 $$
El valor $\gamma = 1{,}25$ indica que el tiempo transcurre más lentamente dentro de la nave espacial.
Ahora calculamos la velocidad propia $\eta$ a partir de la relación:
$$ \eta = \gamma v $$
Sustituyendo los valores obtenidos:
$$ \eta = 1{,}25 \cdot 0{,}6c = 0{,}75c $$
La velocidad propia del objeto es $ 0{,}75c $ y resulta mayor que la velocidad ordinaria $ 0{,}6c $.
Esto significa que el objeto recorre $0{,}75c$ por cada segundo de su propio tiempo $\tau$. En cambio, desde el laboratorio, se desplaza a $0{,}6c$ con respecto al tiempo $t$ medido por el observador.
Por lo tanto, en su propio marco temporal, el objeto cubre más espacio por unidad de tiempo propio de lo que percibe un observador externo.
Nota. Esta diferencia se debe a que el tiempo propio $\tau$ transcurre más lentamente que $t$. Por esa razón, para un mismo desplazamiento $dx$, la velocidad propia $\eta$ resulta mayor que la velocidad ordinaria. Sin embargo, esto no implica que el objeto supere físicamente la velocidad de la luz, ya que el límite relativista $ v < c $ se aplica únicamente a la velocidad ordinaria.
El cuatrivector velocidad
La velocidad propia forma parte del formalismo de los cuatrivectores, entidades matemáticas que unifican el tiempo y el espacio en una estructura coherente. No se trata de una simple curiosidad teórica.
En particular, la velocidad propia constituye la componente espacial del cuatrivector velocidad, que se expresa como:
$$ U^\mu = \left( \gamma c,\ \gamma \vec{v} \right) $$
Donde:
- $\mu = 0, 1, 2, 3$ es el índice cuatridimensional (una componente temporal y tres espaciales);
- $\gamma \vec{v}$ representa el producto del factor de Lorentz por la velocidad ordinaria;
- $\gamma c$ corresponde a la componente temporal.
Invariancia de la norma
Una propiedad fundamental de la cuatro-velocidad es que su norma (longitud en el sentido relativista) es invariante para todos los observadores:
$$ U^\mu U_\mu = -c^2 $$
En otras palabras, esta magnitud permanece igual en cualquier sistema inercial y es independiente de la velocidad del objeto.
Y así sucesivamente.
