Composition de transformations géométriques

Composer des transformations géométriques consiste à appliquer successivement deux ou plusieurs transformations à un même objet géométrique. La transformation obtenue est appelée transformation composée. $$ s \circ t $$

Cette expression se lit « s composée avec t ». On applique d'abord la transformation t, puis la transformation s. Pour interpréter correctement une composition, il faut donc la lire de droite à gauche.

Un exemple concret

Partons d'une figure géométrique donnée.

Appliquons-lui d'abord une rotation de 90° autour du point A, qui constitue le centre de rotation.

Appliquons ensuite une seconde transformation à la figure obtenue, par exemple une translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

La figure finale est donc l'image de la figure initiale par la composée des deux transformations. Au lieu d'étudier séparément la rotation et la translation, on peut ainsi considérer leur composition comme une seule transformation.

Remarque : Une transformation géométrique associe à chaque point d'une figure un point image selon une règle déterminée. Les propriétés conservées dépendent de la transformation considérée. Les isométries, comme les translations, les rotations et les symétries, conservent notamment les distances et les angles. Une homothétie, en revanche, conserve les angles et le parallélisme, mais multiplie les distances par la valeur absolue de son rapport.

Un point essentiel doit être retenu : la composition de transformations géométriques n'est généralement pas commutative.

Autrement dit, l'ordre des transformations compte. Appliquer une rotation puis une translation ne donne pas nécessairement le même résultat qu'appliquer d'abord la translation puis la rotation.

Composition de transformations dans l'espace

Le principe de composition ne se limite pas aux figures du plan. Il s'applique également aux objets géométriques dans l'espace tridimensionnel.

Lorsqu'on applique une transformation à un solide, on obtient son image par cette transformation. Si l'on applique ensuite une seconde transformation au solide obtenu, les deux opérations successives constituent une transformation composée qui permet de passer directement du solide initial au solide final.

Exemple

Considérons un solide de l'espace, \( \mathcal{F} \), par exemple une pyramide à base carrée. Appliquons-lui d'abord une translation, notée \( t_1 \). On obtient alors un nouveau solide, \( \mathcal{F}_1 \), image de \( \mathcal{F} \) par \( t_1 \).

Effectuons ensuite une symétrie par rapport à un plan. Cette seconde transformation, notée \( t_2 \), donne un nouveau solide, \( \mathcal{F}_2 \), image de \( \mathcal{F}_1 \) par \( t_2 \).

Cette succession correspond à la transformation composée \( t_2 \circ t_1 \). La notation indique précisément l'ordre des opérations : on applique d'abord \( t_1 \), puis \( t_2 \).

On peut donc considérer \( t_2 \circ t_1 \) comme une transformation unique appliquée directement au solide initial \( \mathcal{F} \). Son image est alors le solide \( \mathcal{F}_2 \).

Remarque : Dans l'espace tridimensionnel, l'ordre des transformations est particulièrement important, car leur composition n'est généralement pas commutative. Inverser l'ordre des transformations peut conduire à des positions et à des orientations différentes du solide final.

Composition en géométrie analytique

Étant données deux transformations $t_1$ et $t_2$, la composée de $t_1$ suivie de $t_2$, notée $t_2 \circ t_1$, est définie par : $$(t_2 \circ t_1)(P) = t_2(t_1(P))$$ où $P$ désigne un point quelconque du plan.

Cette écriture traduit directement les deux étapes du calcul. On applique d'abord $t_1$ au point $P$ et l'on obtient $P_1 = t_1(P)$. On applique ensuite $t_2$ à $P_1$, ce qui donne $P_2 = t_2(P_1)$.

Si les transformations sont exprimées à l'aide des coordonnées, avec $t_1: (x, y) \mapsto (x', y')$ et $t_2: (x', y') \mapsto (x'', y'')$, leur composée s'écrit :

$$ t_2 \circ t_1 : (x, y) \mapsto (x'', y'') = t_2(t_1(x, y)) $$

La composition n'est généralement pas commutative. Changer l'ordre des transformations peut donc changer l'image obtenue :

$$ t_2 \circ t_1 \ne t_1 \circ t_2 $$

En revanche, la composition possède la propriété d'associativité :

$$ t_1 \circ ( t_2 \circ t_3 ) = ( t_1 \circ t_2 ) \circ t_3 $$

Cette propriété signifie que, lorsque plusieurs transformations sont composées, la manière de les regrouper ne change pas la transformation finale.

Ainsi, que l'on compose d'abord $t_2$ avec $t_3$, puis $t_1$ avec la transformation obtenue, ou que l'on compose d'abord $t_1$ avec $t_2$, puis la transformation obtenue avec $t_3$, la transformation globale reste la même.

Remarque : Si l'on compose une transformation bijective $t_1$ avec sa transformation réciproque $t_1^{-1}$, on obtient la transformation identité, qui laisse tous les points invariants : $$ t_1 \circ t_1^{-1} = t_1^{-1} \circ t_1 = \mathrm{id} $$ Dans ce cas particulier, les deux compositions sont donc égales.

Exemple

Voyons concrètement comment calculer une composition à partir des coordonnées. Considérons deux transformations dans le plan muni d'un repère cartésien.

La transformation $t_1$ est la symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses :

$$ t_1: \begin{cases} x' = x \\ y' = -y \end{cases} $$

La transformation $t_2$ est la translation de vecteur $(2, 3)$, c'est-à-dire une translation de 2 unités vers la droite et de 3 unités vers le haut :

$$ t_2: \begin{cases} x'' = x' + 2 \\ y'' = y' + 3 \end{cases} $$

Partons du point $A(1, -4)$.

Calculons la composée $t_2 \circ t_1$. Il faut donc appliquer d'abord $t_1$, puis $t_2$.

En appliquant $t_1$ au point $A(1, -4)$, on obtient :

$$ A_1 = t_1(1, -4) = (1, 4) $$

Appliquons maintenant $t_2$ au point $A_1(1, 4)$ :

$$ A_2 = t_2(1, 4) = (1 + 2, 4 + 3) = (3, 7) $$

La composée $t_2 \circ t_1$ envoie donc le point $A$ sur le point $(3, 7)$ :

$$ (t_2 \circ t_1)(A) = (3, 7) $$

Remarque : On peut regrouper les deux étapes en une seule transformation. La composée s'écrit alors : $$ t_2 \circ t_1 : \begin{cases} x'' = x + 2 \\ y'' = -y + 3 \end{cases} $$

Exemple 2

Reprenons les mêmes transformations et le même point initial $A(1, -4)$ :

$$ t_1: \begin{cases} x' = x \\ y' = -y \end{cases} $$

$$ t_2: \begin{cases} x'' = x' + 2 \\ y'' = y' + 3 \end{cases} $$

Cette fois, inversons l'ordre des transformations et calculons :

$$t_1 \circ t_2$$

On applique donc d'abord $t_2$, puis $t_1$.

En appliquant $t_2$ au point $A(1, -4)$, on obtient :

$$ B_1 = t_2(1, -4) = (1 + 2, -4 + 3) = (3, -1) $$

Appliquons ensuite $t_1$ au point $B_1(3, -1)$ :

$$ B_2 = t_1(3, -1) = (3, 1) $$

La composée $t_1 \circ t_2$ envoie donc le point $A$ sur le point $(3, 1)$ :

$$ (t_1 \circ t_2)(A) = (3, 1) $$

Remarque : Les deux compositions, représentées en rouge et en vert, conduisent à des résultats différents : $$(t_2 \circ t_1)(A) = (3, 7)$$ $$(t_1 \circ t_2)(A) = (3, 1)$$ Cet exemple montre concrètement que, de manière générale, la composition n'est pas commutative : $$ t_2 \circ t_1 \ne t_1 \circ t_2 $$

Exemple 3

Étudions maintenant ce qui se passe lorsqu'une transformation est composée avec sa transformation réciproque.

Considérons la transformation $t_1$, qui est une translation de vecteur $(4, -2)$, c'est-à-dire une translation de 4 unités vers la droite et de 2 unités vers le bas :

$$ t_1: \begin{cases} x' = x + 4 \\ y' = y - 2 \end{cases} $$

Sa transformation réciproque $t_1^{-1}$ est la translation de vecteur $(-4, 2)$. Elle annule donc exactement l'effet de la transformation initiale :

$$ t_1^{-1}: \begin{cases} x'' = x' - 4 \\ y'' = y' + 2 \end{cases} $$

Composons maintenant les deux transformations :

$$t_1^{-1} \circ t_1$$

Choisissons un point quelconque, par exemple :

$$ P(3, 5) $$

Appliquons d'abord $t_1$ au point $P$ :

$$ P_2 = t_1(3, 5) = (3 + 4, 5 - 2) = (7, 3) $$

Appliquons maintenant $t_1^{-1}$ au point $P_2$ :

$$ t_1^{-1}(7, 3) = (7 - 4, 3 + 2) = (3, 5) $$

Après les deux transformations, on retrouve exactement le point de départ :

$$ (t_1^{-1} \circ t_1)(3, 5) = (3, 5) $$

Cet exemple illustre une propriété fondamentale : composer une transformation bijective avec sa transformation réciproque donne la transformation identité, qui laisse chaque point du plan inchangé :

$$ t_1^{-1} \circ t_1 = \mathrm{id} $$

Le même principe s'applique à toutes les transformations inversibles.