La transformation identité en géométrie

La transformation identité est une transformation géométrique qui laisse invariant chaque point du plan (ou de l'espace). Autrement dit, chaque point est envoyé sur lui-même : aucun point ne change de position et la figure reste exactement la même.

C'est la transformation géométrique la plus simple : elle transforme une figure sans en modifier aucun élément.

On peut se la représenter très simplement. On applique une transformation à une figure, mais, une fois l'opération effectuée, rien n'a changé. La figure reste rigoureusement identique à elle-même, sans translation, sans rotation effective ni changement d'échelle.

$$ \forall \ P \ \ ,\ \ P = f(P) $$

D'un point de vue algébrique, on peut rapprocher cette propriété de la multiplication par 1 : toute valeur multipliée par 1 reste inchangée. $$ \forall \ x \ \ ,\ \ x = f(x \cdot 1) $$ En géométrie, l'identité repose sur un principe analogue : chaque élément est envoyé sur lui-même et reste donc invariant.

Un exemple concret

Prenons une figure géométrique simple, par exemple un carré.

Appliquons maintenant à ce carré une rotation d'angle 360°, c'est-à-dire un tour complet.

Pendant la rotation, les points du carré se déplacent autour du centre de rotation. Mais, une fois le tour complet achevé, chacun d'eux retrouve exactement sa position initiale.

Le point B, par exemple, retrouve exactement sa position initiale et possède donc les mêmes coordonnées qu'avant la rotation. Il en va de même pour tous les autres points du carré.

$$ B = f(B)  $$

$$ C = f(C)  $$

$$ D = f(D)  $$

Une rotation d'angle 360° définit donc la même transformation que l'identité : après la transformation, chaque point coïncide avec sa position de départ.

Le même résultat est obtenu avec deux tours complets (720°) et, plus généralement, avec toute rotation dont l'angle est un multiple entier de 360°. Une rotation d'angle 0° correspond elle aussi à l'identité. Dans chacun de ces cas, chaque point est envoyé sur lui-même et conserve exactement la même position.

Ce raisonnement s'applique de la même manière à tout nombre entier de tours complets.