Les invariants des transformations géométriques

Les invariants d'une transformation géométrique sont les propriétés d'une figure qui restent inchangées lorsqu'on lui applique une transformation.

Selon la transformation effectuée, certaines propriétés sont conservées, tandis que d'autres peuvent être modifiées.

Chaque type de transformation géométrique possède donc ses propres invariants.

Pourquoi étudier les invariants ? Ils permettent de comprendre ce qui change et ce qui reste identique lorsqu'une figure est transformée. Leur étude est également essentielle pour distinguer les différentes transformations géométriques et comprendre leurs propriétés.

Quelques exemples concrets

Lors d'une translation, tous les points d'une figure sont déplacés selon un même vecteur. Autrement dit, ils se déplacent dans la même direction, dans le même sens et sur une même distance.

Une translation conserve les distances entre les points, les longueurs et les angles. La figure garde donc la même forme, les mêmes dimensions et la même orientation. Seule sa position change.

Exemple 2

Lors d'une rotation, une figure tourne d'un angle donné autour d'un point fixe, appelé centre de rotation et noté P.

Le centre P reste fixe. Les distances entre les points, les longueurs et les angles sont également conservés. La figure garde ainsi sa forme, ses dimensions et son orientation, même si sa position et la direction de ses côtés peuvent changer.

Exemple 3

Lors d'une symétrie axiale, également appelée réflexion, une figure est transformée en son image par rapport à une droite appelée axe de symétrie.

Cette transformation conserve les distances, les longueurs, les angles, la forme et les dimensions de la figure. Tous les points situés sur l'axe de symétrie restent fixes.

En revanche, contrairement à une translation ou à une rotation, une symétrie axiale inverse l'orientation de la figure, comme lorsqu'on observe son reflet dans un miroir.

Remarque : En géométrie euclidienne, une isométrie est une transformation qui conserve la distance entre deux points quelconques. Les translations, les rotations et les symétries axiales sont des exemples d'isométries. Elles préservent les longueurs, les angles, la forme et les dimensions des figures. On distingue les isométries directes, qui conservent l'orientation, comme les translations et les rotations, des isométries indirectes, qui l'inversent, comme les symétries axiales. Une isométrie permet donc de déplacer ou de retourner une figure sans la déformer ni modifier ses dimensions.

Exemple 4

Lors d'une homothétie, une figure est agrandie ou réduite par rapport à un point fixe, appelé centre de l'homothétie.

Cette transformation est caractérisée par un rapport d'homothétie non nul, qui détermine le facteur d'agrandissement ou de réduction.

Le centre de l'homothétie reste fixe. Les angles et les rapports de longueurs sont conservés, tout comme la forme de la figure.

Plus précisément, toutes les distances sont multipliées par la valeur absolue du rapport d'homothétie. Ainsi, les proportions restent identiques, même lorsque les dimensions de la figure changent.

Remarque : Contrairement aux transformations précédentes, une homothétie n'est pas toujours une isométrie. Lorsque la valeur absolue de son rapport est différente de 1, elle modifie les distances entre les points et donc les dimensions de la figure. En revanche, elle conserve les angles, les rapports de longueurs et la forme. C'est pourquoi une homothétie est une similitude. Dans les cas particuliers où son rapport vaut 1 ou -1, elle est aussi une isométrie : il s'agit respectivement de l'identité et d'une symétrie centrale.

Le même raisonnement peut être appliqué à d'autres transformations géométriques. Pour chacune d'elles, il suffit de rechercher les propriétés qui restent inchangées afin d'identifier ses invariants.