Symétrie axiale

La symétrie axiale (également appelée réflexion par rapport à une droite) est une isométrie du plan qui associe à chaque point d'une figure son symétrique par rapport à une droite appelée axe de symétrie. Un point et son image se trouvent de part et d'autre de cet axe, à la même distance de celui-ci.

Pour comprendre cette transformation, on peut considérer une droite r, appelée axe de symétrie, qui partage le plan en deux demi-plans.

À chaque point A situé dans l'un des deux demi-plans correspond alors un point symétrique A' situé dans l'autre.

Le segment reliant A à A' est perpendiculaire à la droite r, et son milieu appartient à l'axe de symétrie.

Autrement dit, la droite r est la médiatrice du segment AA'. Cette propriété permet de caractériser simplement deux points symétriques par rapport à une droite.

• r est perpendiculaire au segment AA'
• r passe par le milieu du segment AA'

Remarque : La symétrie axiale est une isométrie, car elle conserve les distances. Elle conserve donc également les longueurs et les mesures des angles. Une figure et son image par symétrie axiale sont ainsi superposables.

Un exemple concret

Considérons une figure située dans le demi-plan de gauche. Par symétrie axiale, elle est transformée en une figure symétrique située dans le demi-plan de droite.

Pour chaque point de la figure et son image, le segment qui les relie est perpendiculaire à l'axe de symétrie r. Les deux points sont également situés à la même distance de cet axe.

Dans cet exemple, le point C a pour image le point C', situé dans le demi-plan de droite.

Les points C et C' se trouvent tous deux à une distance de 5 unités de l'axe de symétrie.

De plus, le milieu du segment CC' appartient à la droite r.

Définition formelle de la symétrie axiale

La droite r est appelée axe de symétrie.

Si O désigne le point d'intersection de la droite r avec le segment PP', alors O est le milieu de PP'. Les segments OP et OP' ont donc la même longueur :

$$ \overline{OP} \cong \overline{OP'} $$

Les points situés sur l'axe de symétrie constituent un cas particulier. Tout point R appartenant à la droite r reste invariant, puisque son image par la symétrie axiale est le point R lui-même.

Autrement dit, tous les points de la droite r sont des points fixes de la symétrie axiale.

Symétrie dans le plan et dans l'espace

La notion de réflexion peut être définie aussi bien dans le plan que dans l'espace, mais l'élément par rapport auquel s'effectue la transformation n'est pas le même.

• Symétrie axiale dans le plan
  Dans le plan, la réflexion s'effectue par rapport à une droite. Cette droite constitue l'axe de symétrie.
• Symétrie par rapport à un plan
  Dans l'espace tridimensionnel, la transformation analogue est une réflexion par rapport à un plan, appelé plan de symétrie.

Symétries axiales remarquables en géométrie analytique

En géométrie analytique, certaines symétries axiales sont particulièrement utiles. C'est notamment le cas lorsque l'axe de symétrie est l'un des axes du repère, l'une des bissectrices des axes ou une droite parallèle à l'un des axes du plan. Dans ces situations, les coordonnées du point symétrique s'obtiennent à l'aide de formules simples.

• Symétrie par rapport à l'axe des abscisses
  Lorsque l'axe de symétrie est l'axe des abscisses, les coordonnées du symétrique P'(x';y') d'un point P(x;y) sont données par : $$ \begin{cases} x' = x \\ \\ y' = -y \end{cases} $$  L'abscisse reste donc la même, tandis que l'ordonnée prend la valeur opposée.

  Exemple : L'abscisse x reste inchangée, tandis que l'ordonnée y change de signe : y' = -y.
  

• Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
  Lorsque l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées, les coordonnées du point symétrique sont données par : $$ \begin{cases} x' = -x \\ \\ y' = y \end{cases} $$ Cette fois, c'est l'abscisse qui change de signe, tandis que l'ordonnée reste inchangée.

  Exemple : L'ordonnée y reste inchangée, tandis que l'abscisse x change de signe.
  

• Symétrie par rapport à une droite parallèle à l'axe des abscisses
  Considérons une droite d'équation y=k, parallèle à l'axe des abscisses. Les coordonnées du point symétrique sont données par : $$ \begin{cases} x' = x \\ \\ y' = 2k-y \end{cases} $$

  Démonstration : L'abscisse x est conservée, tandis que l'ordonnée y est modifiée. Le milieu du segment reliant un point à son symétrique appartient à l'axe de symétrie. Son ordonnée y_M est donc égale à k. On a : $$ k = \frac{y+y'}{2} $$ En isolant y', on obtient : $$ y' = 2k - y $$ Voici un exemple concret :
  

• Symétrie par rapport à une droite parallèle à l'axe des ordonnées
  Considérons maintenant une droite d'équation x=k, parallèle à l'axe des ordonnées. Les coordonnées du point symétrique sont données par : $$ \begin{cases} x' = 2k-x \\ \\ y' = y \end{cases} $$

  Démonstration : L'ordonnée y est conservée, tandis que l'abscisse x est modifiée. Le milieu M du segment reliant un point à son symétrique appartient à l'axe de symétrie. Son abscisse est donc égale à k. On a : $$ k = \frac{x+x'}{2} $$ En isolant x', on obtient : $$ x' = 2k - x $$ Voici un exemple :
  

• Symétrie par rapport aux bissectrices des axes
  Les deux bissectrices des axes constituent également des axes de symétrie importants. Pour la droite $y=x$, bissectrice des premier et troisième quadrants, les coordonnées sont simplement permutées : $$ \begin{cases} x' = y \\ \\ y' = x \end{cases} $$ Pour la droite $y=-x$, bissectrice des deuxième et quatrième quadrants, les coordonnées sont permutées et changent toutes deux de signe : $$ \begin{cases} x' = -y \\ \\ y' = -x \end{cases} $$

  Exemple : Dans une symétrie par rapport à la droite $y=x$, les coordonnées du point sont simplement permutées.
  
  Dans une symétrie par rapport à la droite $y=-x$, les coordonnées sont permutées et changent toutes deux de signe.
  

• Symétrie par rapport à une droite (y = mx + q)
  Le cas d'une droite quelconque d'équation $ y = mx + q $ est plus général. Pour déterminer le symétrique $P'(x', y')$ d'un point $P(x, y)$ par rapport à une droite $r$, deux propriétés géométriques fondamentales doivent être vérifiées :
  • Perpendicularité
    Le segment $PP'$ doit être perpendiculaire à la droite $r$. Par conséquent, lorsque les coefficients directeurs sont définis, celui de $PP'$ est l'opposé de l'inverse de $m$ : $$ \frac{y' - y}{x' - x} = -\frac{1}{m} $$
  • Milieu situé sur l'axe de symétrie
    Le milieu du segment $PP'$ doit appartenir à la droite $r$. Si $$ M\!\left(\frac{x+x'}{2}, \; \frac{y+y'}{2}\right) $$ désigne ce milieu, ses coordonnées doivent donc vérifier l'équation de $r$ : $$ \frac{y+y'}{2} = m \cdot \frac{x+x'}{2} + q $$
  En résolvant ce système en $x'$ et $y'$, on obtient directement les coordonnées du point symétrique : $$ \begin{cases} x' = \frac{(1-m^2)x + 2my - 2mq}{m^2+1} \\ \\ y' = \frac{(m^2-1)y + 2mx + 2q}{m^2+1} \end{cases} $$

  Exemple. Déterminons le symétrique de $P(2,3)$ par rapport à la droite $ r: \; y = 2x + 1 $. On part des formules de transformation : $$ \begin{cases} x' = \frac{(1-m^2)x + 2my - 2mq}{m^2+1} \\ \\ y' = \frac{(m^2-1)y + 2mx + 2q}{m^2+1} \end{cases} $$ En remplaçant $m=2, q=1, x=2, y=3$, on obtient : $$ \begin{cases} x' = \frac{(1-4)\cdot 2 + 2\cdot 2\cdot 3 - 2\cdot 2\cdot 1}{2^2+1} \\ \\ y' = \frac{(4-1)\cdot 3 + 2\cdot 2\cdot 2 + 2\cdot 1}{5} \end{cases} $$ $$ \begin{cases}
  x' = \frac{-6 + 12 - 4}{5} = \frac{2}{5} = 0.4 \\ \\ y' = \frac{9 + 8 + 2}{5} = \frac{19}{5} = 3.8 \end{cases} $$ Le symétrique du point $ P $ par rapport à la droite $ r $ est donc $ P'(0.4,\;3.8) $.
  

• Symétrie par rapport à la droite (y = mx)
  Lorsque l'axe de symétrie est une droite $ y = m x $ passant par l'origine, les formules précédentes peuvent être exprimées à l'aide de l'angle que forme cette droite avec l'axe des abscisses. Les coordonnées $(x',y')$ du symétrique d'un point $(x,y)$ sont alors données par : $$ \begin{cases} x' = x \cos 2\alpha + y \sin 2\alpha \\[6pt] y' = x \sin 2\alpha - y \cos 2\alpha \end{cases} $$ où $\alpha = \arctan(m)$ désigne un angle directeur de la droite $y=mx$ par rapport à l'axe des abscisses.

  Exemple. Déterminons le symétrique du point $(2,1)$ par rapport à la droite $y=x$. Cette droite a pour coefficient directeur $m=1$, d'où $\alpha = \arctan(1) = \tfrac{\pi}{4}$. En doublant cet angle, on obtient : $$ \cos 2\alpha = \cos \tfrac{\pi}{2} = 0, \qquad \sin 2\alpha = \sin \tfrac{\pi}{2} = 1 $$ En remplaçant ces valeurs dans les formules : $$ \begin{cases} x' = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \\[6pt] y' = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 2 \end{cases} $$ Le symétrique du point $(2,1)$ par rapport à la droite $y=x$ est donc le point $(x',y') = (1,2)$.
  
  Démonstration. Partons de la formule générale donnant le symétrique d'un point par rapport à la droite $ y=mx+q $ : $$ \begin{cases} x' = \frac{(1-m^2)x + 2my - 2mq}{m^2+1} \\ \\ y' = \frac{(m^2-1)y + 2mx + 2q}{m^2+1} \end{cases} $$ Lorsque la droite passe par l'origine, on a $q=0$. Les expressions se simplifient alors en : $$ \begin{cases} x' = \frac{(1-m^2)x + 2my}{m^2+1} \\ \\ y' = \frac{(m^2-1)y + 2mx}{m^2+1} \end{cases} $$ Comme $ m = \tan \alpha $, on remplace m par $\tan \alpha$ : $$ \begin{cases} x' = \frac{(1-\tan^2 \alpha)x + 2 \tan \alpha \, y}{1+\tan^2 \alpha} \\ \\ y' = \frac{(\tan^2 \alpha -1)y + 2 \tan \alpha \, x}{1+\tan^2 \alpha} \end{cases} $$ En séparant les termes en x et en y, on obtient : $$ \begin{cases} x'= \frac{1-\tan^2 \alpha }{1+\tan^2 \alpha }\,x + \frac{2 \tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha }\,y \\ \\ y'= \frac{2 \tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha}\,x - \frac{1-\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha}\,y \end{cases} $$ Enfin, en utilisant les identités trigonométriques $ \cos 2 \alpha = \tfrac{1- \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} $ et $ \sin 2 \alpha = \tfrac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} $, on obtient : $$ \begin{cases} x'= x \cos 2 \alpha + y \sin 2 \alpha \\ \\ y'= x \sin 2 \alpha - y \cos 2 \alpha \end{cases} $$ ce qui démontre la formule.

Ce sont les cas de symétrie axiale les plus couramment utilisés dans le plan.

On peut également déterminer le symétrique d'un point par rapport à une droite d'orientation quelconque à l'aide d'une matrice de réflexion. Cette méthode sera étudiée dans la section suivante.

La matrice de réflexion

Dans le plan, la réflexion par rapport à une droite y = mx passant par l'origine du repère peut être décrite simplement à l'aide d'une matrice de réflexion.

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Dans cette écriture, (x;y) désigne les coordonnées du point initial P, tandis que (x';y') représente les coordonnées de son symétrique P'.

La matrice de réflexion est :

$$ A = \begin{pmatrix} \cos (2 \alpha) & \sin ( 2 \alpha ) \\ \sin ( 2 \alpha) & - \cos(2 \alpha) \end{pmatrix} $$

L'angle α correspond à l'angle orienté que forme la droite y = mx avec le demi-axe positif des abscisses.

Remarque : L'angle α peut être déterminé à l'aide de l'arctangente du coefficient directeur m de la droite y = mx, avec m = y/x. $$ \alpha = \arctan(m) $$ Cette formule ne s'applique toutefois pas lorsque la droite r est perpendiculaire à l'axe des abscisses (90° ou 270°), car son coefficient directeur n'est alors pas défini.

Voyons maintenant comment utiliser cette matrice dans un exemple concret.

Exemple

Considérons le point de coordonnées x = 2 et y = 3 :

$$ P = (2;3) $$

Représentons d'abord ce point dans le plan cartésien :

Choisissons comme axe de symétrie une droite passant par l'origine et formant un angle de 90° (π/2 radians) avec le demi-axe positif des abscisses. Il s'agit donc de l'axe des ordonnées.

Calculons les nouvelles coordonnées à l'aide de la matrice de réflexion :

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (2 \alpha) & \sin ( 2 \alpha ) \\ \sin ( 2 \alpha) & - \cos(2 \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Les coordonnées du point initial sont P = (2;3), c'est-à-dire x = 2 et y = 3.

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (2 \alpha) & \sin ( 2 \alpha ) \\ \sin ( 2 \alpha) & - \cos(2 \alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Dans cet exemple, l'angle vaut α = 90°, soit π/2 radians.

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (2 \cdot 90°) & \sin (2 \cdot 90°) \\ \sin (2 \cdot 90°) & - \cos(2 \cdot 90°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (180°) & \sin (180°) \\ \sin (180°) & - \cos(180°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Or, le sinus de 180° vaut 0 et le cosinus de 180° vaut -1 :

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

On obtient donc P' = (-2;3). L'abscisse a changé de signe, tandis que l'ordonnée est restée inchangée, ce qui correspond bien à une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Symétrie axiale dans l'espace appliquée aux solides

Dans l'espace tridimensionnel, on peut également définir une symétrie par rapport à une droite servant d'axe. Cette transformation associe à chaque point du solide une image déterminée par rapport à cet axe.

Il s'agit d'une isométrie : elle conserve les distances et, par conséquent, les dimensions et la forme du solide initial.

Étant donnée une droite \( r \) dans l'espace tridimensionnel, la symétrie axiale d'axe \( r \) se définit de la manière suivante :

1. Tous les points appartenant à la droite \( r \) restent fixes.
2. Tout autre point \( P \) est transformé en un point \( P' \) tel que :
   • Le segment \( PP' \) est perpendiculaire à l'axe \( r \).
   • Les points \( P \) et \( P' \) sont à égale distance de l'axe \( r \). Autrement dit, les segments \( OP \cong OP' \), où \( O \) est le point d'intersection du segment \( PP' \) avec la droite \( r \).

Quelles sont les propriétés de la symétrie axiale dans l'espace ?

Comme toute isométrie, cette transformation conserve les distances. Si deux points sont séparés par une distance \( d \), leurs images restent séparées par cette même distance après la transformation.

La forme et les dimensions du solide sont ainsi conservées. Il en va de même pour son volume et pour les angles entre ses faces.

Le solide obtenu est donc congruent au solide initial.

Symétrie par rapport à un plan

La symétrie par rapport à un plan, également appelée symétrie orthogonale par rapport à un plan, est l'analogue dans l'espace tridimensionnel de la symétrie axiale dans le plan. Dans le plan, l'élément de symétrie est une droite ; dans l'espace, il s'agit d'un plan.

Le principe est simple : un point et son image se trouvent à égale distance du plan de symétrie, de part et d'autre de celui-ci, sur une même droite perpendiculaire au plan.

Considérons un solide dans l'espace tridimensionnel et un plan de symétrie \( \pi \) :

1. Tout point appartenant au plan \( \pi \) reste invariant.
2. Tout point \( P \) n'appartenant pas à \( \pi \) est transformé en un point \( P' \) tel que :
   - La droite \( PP' \) est perpendiculaire au plan \( \pi \).
   - Les segments \( PH \) et \( P'H \), où \( H \) est le projeté orthogonal de \( P \) sur le plan \( \pi \), ont la même longueur ( \( PH \cong P'H \) ).

Le point \( H \) est donc le milieu du segment \( PP' \), et le plan \( \pi \) est le plan médiateur de ce segment. Il constitue le plan de symétrie.

Remarque : Une figure et son image par symétrie par rapport à un plan sont congruentes et disposées en miroir de part et d'autre du plan de symétrie. Les distances, les angles et les proportions sont conservés. Cette transformation est également involutive : si l'on applique deux fois successivement la symétrie par rapport au même plan, on retrouve la figure initiale.

Remarques

La symétrie axiale possède plusieurs propriétés importantes. Elles permettent non seulement de mieux comprendre cette transformation, mais aussi de montrer comment elle intervient dans l'étude des principales isométries du plan.

• La symétrie axiale est une isométrie (démonstration)
  Soient $A$ et $B$ deux points du plan. Par symétrie par rapport à une droite $r$, ils ont respectivement pour images $A'$ et $B'$. Par définition, $A$ et $A'$ sont à égale distance de $r$, tout comme $B$ et $B'$. De plus, les droites $AA'$ et $BB'$ sont perpendiculaires à $r$. Les points $M_A$ et $M_B$, où ces droites coupent $r$, sont respectivement les milieux des segments $AA'$ et $BB'$.
  
  Puisque $AA'$ et $BB'$ sont toutes deux perpendiculaires à $r$, elles sont parallèles : $ AA' \parallel BB' $. La distance entre ces deux droites est donc constante. Soit $C$ le projeté orthogonal de $A$ sur $BB'$, et $C'$ celui de $A'$. Les segments $AC$ et $A'C'$ sont perpendiculaires à $BB'$. Ils sont donc parallèles entre eux et ont la même longueur : $AC \cong A'C'$.
  
  On en déduit que $AM_A$ et $CM_B$ ont la même longueur. De même, $A'M_A$ et $C'M_B$ ont la même longueur. Par conséquent, $BC$ et $B'C'$ ont eux aussi la même longueur, $ BC \cong B'C' $, puisqu'ils s'obtiennent par différence de segments de même longueur ( $ BC = BM_B - CM_B $ et $ B'C' = B'M_B - C'M_B $ ).
  Enfin, les triangles rectangles $ ABC $ et $ A'B'C' $ sont congruents, $ ABC \cong A'B'C' $, car les côtés de leurs angles droits ont respectivement la même longueur ( $ BC \cong B'C' $ et $ AC \cong A'C' $ ). Leurs hypoténuses ont donc elles aussi la même longueur : $ AB \cong A'B' $. La symétrie axiale conserve ainsi la distance entre deux points : c'est bien une isométrie.
  
• La composée de deux symétries axiales de même axe est l'identité
  Si l'on applique deux fois de suite une symétrie axiale de même axe r, chaque point revient à sa position initiale. La transformation obtenue est donc la transformation identité. Plus généralement, un nombre pair de symétries successives de même axe laisse la figure inchangée. On dit que la symétrie axiale est une transformation involutive : composée avec elle-même, elle donne l'identité.
  
• La composée de deux symétries axiales d'axes parallèles est une translation
  Lorsque l'on applique successivement deux symétries axiales S₁ et S₂ d'axes parallèles r₁ et r₂, le résultat est une translation. Son vecteur est perpendiculaire aux deux axes, tandis que son sens dépend de l'ordre dans lequel les deux symétries sont effectuées.
  

  Remarque. Si $d$ désigne la distance entre les deux axes de symétrie $r_1$ et $r_2$, la norme du vecteur de translation $\vec{v}$ est égale au double de cette distance : $$ | \vec{v} | = 2d $$ Le vecteur $\vec{v}$ est par ailleurs perpendiculaire aux deux axes. Cette relation apparaît directement sur la figure.
  
  En additionnant les déplacements successifs, on obtient : $$ | \vec{v} | = 2d_1 + 2d_2 = 2(d_1 + d_2) $$ Or $d_1 + d_2 = d$, où $d$ est la distance entre les deux axes. On obtient donc : $$ | \vec{v} | = 2(d_1 + d_2) = 2d $$

• La composée de deux symétries axiales d'axes sécants est une rotation
  Si les symétries axiales S₁ et S₂ sont effectuées successivement par rapport à deux axes sécants r₁ et r₂, leur composée est une rotation. Son centre est le point d'intersection O des deux axes, et son angle est égal au double de l'angle orienté qui permet de passer du premier axe au second : 2α + 2β.
  
  Comme l'axe r₂ est la bissectrice de l'angle 2β = β₁ + β₂, avec β₁ ≅ β₂, les angles α + β₁ et α + β₂ ont eux aussi la même mesure. Notons γ cette mesure commune, de sorte que γ ≅ α + β₁ ≅ α + β₂. L'angle γ correspond à l'angle formé par les axes r₁ et r₂. Ainsi, l'angle de la rotation est égal au double de l'angle γ.
  

  Remarque : Si les axes de symétrie r₁ et r₂ sont perpendiculaires, l'angle qui les sépare vaut 90°. Leur composée est alors une rotation de 180°, autrement dit un demi-tour.
  

• Toute isométrie du plan peut se décomposer en symétries axiales
  La symétrie axiale joue un rôle essentiel dans l'étude des isométries du plan. Plusieurs transformations usuelles peuvent en effet être obtenues en composant des symétries axiales :
  • Les rotations, les transformations identité et les translations peuvent s'exprimer comme des compositions de deux symétries axiales convenablement choisies. 
  • Les symétries centrales correspondent à des rotations de 180 degrés autour d'un point P.
    
    Puisqu'une rotation peut être obtenue en composant deux symétries axiales, une symétrie centrale peut elle aussi être construite à partir de symétries axiales.
  Plus généralement, toute isométrie du plan peut être obtenue par une composition appropriée de symétries axiales.
• Figures invariantes par symétrie axiale
  Certaines figures restent invariantes sous l'action d'une symétrie axiale. C'est d'abord le cas de l'axe de symétrie $(r)$ lui-même. Il est invariant point par point : chacun de ses points reste exactement à la même position après la transformation.
  
  Toute droite perpendiculaire à l'axe de symétrie est également invariante, mais d'une autre manière. On parle ici d'invariance globale : la droite est transformée en elle-même en tant qu'ensemble, mais ses points ne restent pas nécessairement fixes. Un point peut ainsi être envoyé sur un autre point de cette même droite.
  

  Remarque. La droite $r'$ est conservée par la transformation, même si ses points ne restent pas tous fixes. Par exemple, le point $A$ a pour image le point $A'$.

• Symétrie glissée
  Une symétrie glissée est la composée d'une symétrie axiale et d'une translation dont le vecteur est parallèle à l'axe de symétrie. Elle associe donc deux transformations : une réflexion par rapport à une droite, puis un déplacement parallèle à cette même droite.
  

Ces propriétés montrent pourquoi la symétrie axiale occupe une place centrale en géométrie. Elle ne sert pas seulement à construire l'image d'une figure : elle permet également de décrire et de comprendre de nombreuses autres isométries et transformations du plan.