Symétrie glissée
Une symétrie glissée, également appelée réflexion glissée, est une transformation géométrique du plan qui combine deux opérations : une réflexion par rapport à une droite $r$, suivie d'une translation de vecteur $\vec{v}$ parallèle à cette droite. En notant $S_r$ la réflexion d'axe $r$ et $T_{\vec{v}}$ la translation, on obtient : $$ G = T_{\vec{v}} \circ S_r $$
La symétrie glissée est une isométrie : elle conserve les distances entre les points. Autrement dit, une figure transformée par symétrie glissée garde les mêmes dimensions et les mêmes angles que la figure initiale.
Lorsque le vecteur de translation est non nul, cette transformation ne se réduit ni à une réflexion axiale ni à une simple translation.
Elle se distingue d'une symétrie axiale par l'absence de points fixes. Dans une réflexion classique, les points situés sur l'axe ne bougent pas. Dans une symétrie glissée, ils se déplacent le long de cet axe.
Elle diffère également d'une translation. En effet, une translation conserve l'orientation des figures, tandis qu'une symétrie glissée l'inverse à cause de la réflexion.
Remarque. Si le vecteur de translation est nul ($\vec{v}=0$), la transformation se réduit à une réflexion axiale. On parle généralement de symétrie glissée au sens strict lorsque ce vecteur est non nul. Si l'on supprime la réflexion, on obtient simplement une translation.
Exemple de symétrie glissée
Pour comprendre le fonctionnement d'une symétrie glissée, prenons un exemple dans un repère orthonormé.
Nous allons combiner deux transformations :
- Une réflexion par rapport à la droite $r: x=0$, c'est-à-dire l'axe des ordonnées.
- Une translation de vecteur $\vec{v} = (0,2)$, parallèle à cet axe.
Partons du point $P(3,1)$ et déterminons sa position après ces deux transformations.
Première étape : la réflexion axiale.
On commence par réfléchir le point $P$ par rapport à l'axe des ordonnées.
Cette réflexion change le signe de l'abscisse, mais conserve l'ordonnée. Le point $P(3,1)$ devient donc $P'(-3,1)$.
Deuxième étape : la translation.
On applique ensuite au point $P'$ la translation de vecteur $\vec{v} = (0,2)$.
Comme le vecteur est vertical, l'abscisse ne change pas. En revanche, l'ordonnée augmente de $2$ unités.
On obtient alors :
$$ P''=(-3,1+2) = (-3,3) $$
Le résultat est donc le suivant : la symétrie glissée transforme le point $P(3,1)$ en $P''(-3,3)$.
Pour visualiser cette transformation, imaginons une figure que l'on retourne comme dans un miroir, puis que l'on fait glisser parallèlement à l'axe de réflexion.
Une propriété intéressante est que l'ordre des deux opérations ne change pas le résultat. On peut commencer par la translation et effectuer ensuite la réflexion, ou procéder dans l'ordre inverse.
Cette propriété s'explique par le fait que le vecteur de translation est parallèle à l'axe de réflexion. Dans ce cas, les deux transformations commutent.
Propriétés de la symétrie glissée
La symétrie glissée possède plusieurs caractéristiques qui permettent de la reconnaître et de la distinguer des autres transformations géométriques.
- Absence de points fixes
Dans une réflexion axiale, tous les points de l'axe restent immobiles. Ce n'est pas le cas d'une symétrie glissée dont le vecteur de translation est non nul : aucun point du plan ne conserve sa position. L'axe de réflexion reste toutefois globalement invariant. Cela signifie que la droite est transformée en elle-même, même si chacun de ses points se déplace le long de cette droite.
Enfin, la symétrie glissée appartient à la famille des isométries indirectes du plan. Elle conserve les distances et les angles, mais inverse l'orientation des figures.
En résumé, une symétrie glissée permet de déplacer une figure tout en la réfléchissant. La figure obtenue possède les mêmes dimensions que l'originale, mais son orientation est inversée et, lorsque le glissement est non nul, aucun point ne reste fixe.
