Isométrie

Une isométrie est une transformation géométrique qui conserve les distances entre les points.

Autrement dit, si deux points sont séparés par une certaine distance avant la transformation, leurs images restent séparées par exactement la même distance.

Une isométrie peut donc déplacer, faire tourner ou retourner une figure sans la déformer. La figure obtenue conserve la même forme et les mêmes dimensions que la figure initiale.

Les isométries conservent également les aires et, par conséquent, l'équivalence des surfaces.

Exemple

Considérons un triangle auquel on applique d'abord une rotation de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, puis une translation vers la droite. Tout au long de ces transformations, les distances entre les points A, B et C restent inchangées.

La rotation et la translation sont toutes deux des isométries.

Le triangle initial et son image sont isométriques : leurs côtés correspondants ont la même longueur et leurs angles correspondants la même mesure. Ils ont donc également la même aire.

Deux figures sont dites "isométriques" lorsqu'il existe une isométrie qui transforme l'une en l'autre. Le terme vient du grec : "isos" signifie "égal" et "metron", "mesure". Par exemple, les deux triangles considérés sont isométriques, car la rotation ou la translation conserve les longueurs de leurs côtés ainsi que les mesures de leurs angles.

Les isométries sont également appelées transformations rigides ou mouvements rigides, car elles ne modifient ni la forme ni les dimensions des figures.

Deux figures qui se correspondent par une isométrie sont appelées figures isométriques.

Principales isométries du plan

Dans le plan, plusieurs transformations permettent de déplacer une figure tout en conservant les distances. Les principales sont la translation, la rotation, la symétrie axiale et la symétrie centrale.

• Translation
  Lors d'une translation, tous les points de la figure sont déplacés selon un même vecteur. Ils se déplacent donc dans la même direction, dans le même sens et sur la même distance.
  
• Rotation
  Lors d'une rotation, les points de la figure tournent autour d'un point fixe, appelé centre de rotation, selon un angle donné. La figure change de position, mais conserve sa forme et ses dimensions.
  
• Symétrie axiale
  Lors d'une symétrie axiale, chaque point est transformé en son symétrique par rapport à une droite, appelée axe de symétrie. On peut se représenter cette transformation comme l'effet produit par un miroir.
  
• Symétrie centrale
  Lors d'une symétrie centrale, chaque point est transformé en son symétrique par rapport à un point fixe, appelé centre de symétrie. Dans le plan, cette transformation équivaut à une rotation de 180° autour de ce point.
  

Composition d'isométries

Il est possible d'appliquer plusieurs isométries successivement à une même figure. On parle alors de composition d'isométries.

Par exemple, on peut appliquer à un triangle une translation horizontale de 10 cm, puis une rotation de 180°.

Une propriété essentielle permet de comprendre facilement ce type de transformation : la composée de deux isométries est encore une isométrie.

En effet, puisque chacune des transformations conserve les distances, leur composée les conserve elle aussi.

Ainsi, même après plusieurs isométries successives, la figure conserve sa forme et ses dimensions.

Remarque : La composition des isométries n'est pas, en général, commutative. Cela signifie que l'ordre des transformations peut modifier le résultat final. Par exemple, appliquer une rotation puis une translation ne donne pas nécessairement le même résultat qu'appliquer d'abord la translation, puis la rotation.

Certaines compositions d'isométries correspondent à des transformations particulières. Par exemple :

• Symétrie glissée
  Une symétrie glissée est la composée d'une symétrie axiale et d'une translation dont le vecteur est parallèle à l'axe de symétrie. La figure est donc d'abord réfléchie par rapport à un axe, puis déplacée parallèlement à cet axe.
• Composition d'une rotation et d'une translation
  Une rotation peut également être composée avec une translation. Selon les caractéristiques de ces transformations, la composée obtenue est elle-même une isométrie directe du plan, qui peut être une rotation ou une translation.

Isométries directes et indirectes

Toutes les isométries conservent les distances, mais elles n'ont pas toutes le même effet sur l'orientation d'une figure. On distingue ainsi les isométries directes et les isométries indirectes.

• Isométries directes
  Les isométries directes, également appelées déplacements, conservent l'orientation des figures. Les translations et les rotations en sont les principaux exemples. Ainsi, ces deux drapeaux peuvent être superposés au moyen d'une rotation suivie d'une translation. La transformation obtenue est donc une isométrie directe.
  
• Isométries indirectes
  Les isométries indirectes, également appelées antidéplacements, inversent l'orientation des figures. La symétrie axiale en constitue l'exemple le plus simple. Ainsi, ces deux drapeaux ne peuvent être parfaitement superposés qu'après une symétrie axiale. Il s'agit donc d'une isométrie indirecte.
  

Remarque : Une erreur fréquente consiste à penser qu'une isométrie indirecte nécessite au moins deux transformations rigides. En réalité, une seule symétrie axiale suffit à inverser l'orientation. Ce n'est donc pas le nombre de transformations effectuées qui détermine si une isométrie est directe ou indirecte, mais l'effet de la transformation sur l'orientation de la figure.

Invariants d'une isométrie

Lors d'une isométrie, la position d'une figure peut changer. Dans le cas d'une isométrie indirecte, son orientation peut également être inversée. En revanche, certaines propriétés géométriques restent toujours inchangées.

Ces propriétés conservées par la transformation sont appelées invariants de l'isométrie.

Les principales propriétés conservées par une isométrie sont les suivantes :

• Distance entre les points
  Les distances entre les points sont conservées. Par exemple, si la distance entre A et B est de 5 cm, la distance entre leurs images est elle aussi de 5 cm.
• Longueur des segments
  Les segments conservent leur longueur. Par exemple, les segments AB, BC et AC ont respectivement la même longueur que leurs images.
• Mesure des angles
  La mesure des angles est conservée. Ainsi, les angles α, β et γ du triangle gardent la même mesure après l'isométrie.
• Aire de la figure
  L'aire est conservée. Un triangle, par exemple, possède exactement la même aire avant et après la transformation.
• Forme et dimensions
  La figure conserve sa forme et ses dimensions. Son image est donc isométrique à la figure initiale.
• Alignement des points
  Si plusieurs points sont alignés dans la figure initiale, leurs images restent elles aussi alignées.
• Parallélisme
  Deux droites parallèles ont pour images deux droites qui restent parallèles.
• Perpendicularité
  Deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites qui restent perpendiculaires. Par exemple, si les segments AB et BC sont perpendiculaires dans le triangle initial, leurs images le sont également.

Isométries de l'espace

Les isométries de l'espace sont des transformations qui conservent les distances entre les points. Elles peuvent déplacer ou réorienter un solide, mais elles ne modifient ni sa forme ni ses dimensions.

En géométrie plane, les principales isométries sont les translations, les rotations et les symétries axiales. Dans l'espace tridimensionnel, on retrouve des transformations analogues, avec certaines particularités propres à la dimension trois.

Les isométries de l'espace possèdent les mêmes propriétés fondamentales que celles du plan :

• Elles conservent les distances entre les points correspondants.
• Elles transforment tout segment en un segment de même longueur.
• Elles conservent les angles entre les segments ainsi que les angles entre les plans.

Deux solides sont dits isométriques, ou congruents, s'il existe une isométrie de l'espace qui transforme l'un en l'autre. Leurs arêtes correspondantes ont alors la même longueur, leurs faces correspondantes sont isométriques et leurs angles dièdres correspondants ont la même mesure.

• Solides directement isométriques
  Deux solides sont directement isométriques lorsqu'on peut les faire coïncider exactement à l'aide d'isométries directes, notamment des translations et des rotations, sans utiliser de transformation qui inverse l'orientation.

  Exemple : Deux cubes identiques peuvent être amenés à coïncider par une combinaison de translations et de rotations.

• Solides inversement isométriques
  Deux solides sont inversement isométriques lorsqu'il faut utiliser une isométrie qui inverse l'orientation pour les faire coïncider.

  Exemple : Une chaussure droite et une chaussure gauche idéalisées peuvent être considérées comme les images l'une de l'autre dans un miroir. Elles ont la même forme et les mêmes dimensions, mais des orientations opposées.

Isométries en géométrie analytique

La géométrie analytique permet de décrire les isométries à l'aide d'équations et de matrices. Toute isométrie du plan, qu'il s'agisse d'une translation, d'une rotation, d'une symétrie centrale, d'une symétrie axiale ou d'une symétrie glissée, peut s'écrire sous la forme d'une transformation affine :

$$ \begin{cases} x' = ax + by + c \\ y' = a'x + b'y + c' \end{cases} $$

La matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix}$ représente la partie linéaire de la transformation, tandis que le vecteur $(c, c')$ correspond à sa composante de translation.

Ainsi, toute isométrie du plan peut être décrite par des équations affines du premier degré en $x$ et $y$.

Pour que cette transformation soit une isométrie, la matrice de sa partie linéaire doit être une matrice orthogonale. Elle vérifie donc la relation

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix}^{T} \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} = I \, . $$

De plus, le déterminant de la matrice associée à la partie linéaire d'une isométrie vaut toujours $\pm 1$ :

$$ \det \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} = ab' - a'b = \pm 1 . $$

Le signe du déterminant permet de distinguer deux grandes catégories d'isométries du plan :

• Isométries directes
  Lorsque le déterminant vaut $+1$, l'orientation est conservée. Cette catégorie comprend les translations et les rotations. La symétrie centrale, qui correspond dans le plan à une rotation de 180°, est donc elle aussi une isométrie directe.
• Isométries indirectes
  Lorsque le déterminant vaut $-1$, l'orientation est inversée. Cette catégorie comprend les symétries axiales et les symétries glissées.

Dans tous les cas, une isométrie du plan possède la même structure analytique : une partie linéaire orthogonale à laquelle peut s'ajouter un vecteur de translation.

Exemple 1

Considérons une rotation de $90^\circ$ autour de l'origine, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Elle est décrite par les équations suivantes :

$$ \begin{cases} x' = -y \\ y' = x \end{cases} $$

La matrice de sa partie linéaire est

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = 0 \cdot 0 - (-1)\cdot 1 = +1 . $$

Le déterminant étant égal à $+1$, l'orientation est conservée : cette rotation est donc une isométrie directe.

Par exemple, appliquons cette rotation au point $P(2,1)$ :

$$ P(2,1) \;\;\longrightarrow\;\; P'(x',y') = (-1,2). $$

Le point $P$ est donc envoyé sur le point $P'(-1,2)$.

Exemple 2

Considérons maintenant la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est définie par :

$$ \begin{cases} x' = -x \\ y' = y \end{cases} $$

La matrice de sa partie linéaire est

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = (-1)\cdot 1 - 0 = -1 . $$

Le déterminant étant égal à $-1$, l'orientation est inversée : cette symétrie est donc une isométrie indirecte.

Par exemple, appliquons cette symétrie au point $Q(3,2)$ :

$$ Q(3,2) \;\;\longrightarrow\;\; Q'(-3,2). $$

L'abscisse change de signe, tandis que l'ordonnée reste inchangée.

Remarques complémentaires

Quelques propriétés permettent de mieux comprendre la nature des isométries et leur place parmi les transformations géométriques.

• Les isométries conservent la congruence
  Les isométries conservent les distances et les mesures des angles. Une figure et son image par une isométrie ont donc exactement la même forme et les mêmes dimensions. Elles sont isométriques, ou congruentes au sens de la congruence en géométrie euclidienne.
• Les isométries sont des similitudes particulières
  Une isométrie peut être considérée comme une similitude particulière de rapport 1. Elle possède donc les propriétés des similitudes :
  • le parallélisme est conservé,
  • les angles correspondants ont la même mesure,
  • les segments correspondants ont la même longueur.
  Dans une isométrie, il n'y a donc ni agrandissement ni réduction. La figure conserve exactement sa forme et ses dimensions : les angles restent inchangés et les longueurs correspondantes sont égales, ce qui correspond à un rapport de similitude égal à 1.
• Identifier une isométrie du plan à l'aide de ses points fixes
  Un point fixe est un point qui reste à la même position après la transformation. L'étude des points fixes permet souvent d'identifier rapidement la nature d'une isométrie du plan.
  • Un seul point fixe
    Une rotation d'angle non nul modulo $360^\circ$ possède un unique point fixe : son centre. La symétrie centrale constitue un cas particulier, puisqu'elle équivaut à une rotation de 180°.
    
  • Une infinité de points fixes alignés
    Une symétrie axiale possède une infinité de points fixes : tous les points situés sur l'axe de symétrie restent invariants.
    
  • Tous les points sont fixes
    Si tous les points du plan restent à leur place, la transformation est l'identité. Il s'agit de l'isométrie qui associe chaque point à lui-même.
  • Aucun point fixe
    Une translation de vecteur non nul et une symétrie glissée ne possèdent aucun point fixe : chaque point est déplacé par la transformation.
    
• Le groupe des isométries
  L'ensemble des isométries d'un espace euclidien, muni de la composition des applications, forme un groupe. En effet, la composition est associative, l'application identité est une isométrie, la composée de deux isométries est encore une isométrie et toute isométrie possède une isométrie réciproque. Cette structure algébrique permet d'étudier de manière systématique les différentes transformations qui conservent les distances.

Et ainsi de suite.