Symétrie centrale

La symétrie centrale est une transformation géométrique qui associe à chaque point A d'une figure un point A', appelé son symétrique, par rapport à un point fixe P, nommé centre de symétrie. Le point P se trouve exactement au milieu du segment [AA'].

La symétrie centrale est une isométrie : elle conserve les distances entre les points. Une figure et son image par symétrie centrale ont donc la même forme et les mêmes dimensions.

Le centre de symétrie $ P $ est l'unique point fixe de la transformation. C'est le seul point qui reste à sa position initiale.

Cette transformation existe aussi bien dans le plan que dans l'espace euclidien à trois dimensions.

À retenir : Dans le plan, une symétrie centrale équivaut à une rotation de 180° autour du centre de symétrie. On peut donc la visualiser comme un demi-tour. Elle conserve l'orientation : c'est une isométrie directe. Dans l'espace à trois dimensions, en revanche, elle inverse l'orientation et constitue une isométrie indirecte.

Comment construire une symétrie centrale ?

Pour comprendre le fonctionnement de la symétrie centrale, prenons une figure dessinée dans le plan et choisissons un point qui servira de centre de symétrie.

Appelons ce point P. Nous allons l'utiliser pour construire l'image de chaque point de la figure.

Commençons par placer ce point fixe P dans le plan.

Repérons ensuite trois points de la figure, notés A, B et C.

À partir de chacun de ces points, traçons une demi-droite passant par le centre P.

Pour trouver le symétrique d'un point, il suffit de prolonger la demi-droite au-delà de P, puis de reporter la même distance de l'autre côté du centre.

Le point P se trouve alors exactement au milieu du segment qui relie le point de départ à son symétrique.

Prenons le point A. Son symétrique A' se situe sur la droite (AP), de l'autre côté de P, à la même distance du centre que A.

On dit que les points A et A' sont symétriques par rapport au point P.

Le point P est le milieu du segment [AA']. Il partage donc ce segment en deux parties de même longueur.

$$ \overline{AP} \cong \overline {A'P} $$

En répétant cette construction pour tous les points de la figure, on obtient son image par une rotation de 180° autour de P.

Une autre façon de voir les choses : Imaginez que vous fassiez effectuer un demi-tour à la figure autour du point P. Vous obtenez exactement le même résultat qu'avec une symétrie centrale. La figure conserve sa forme, ses dimensions et son orientation dans le plan. C'est une différence importante avec la symétrie axiale, qui correspond à une réflexion par rapport à une droite et inverse l'orientation.

Une figure et son image par symétrie centrale sont toujours isométriques. Elles ont exactement la même forme et les mêmes dimensions. Dans le plan, un simple demi-tour permet de passer de l'une à l'autre.

C'est pourquoi la symétrie centrale appartient à la famille des isométries, les transformations qui conservent les distances.

Les équations de la symétrie centrale

La symétrie centrale peut aussi se calculer à l'aide des coordonnées des points.

Dans un repère cartésien du plan, considérons un point P(x;y) et un centre de symétrie C(x₀;y₀). Pour trouver les coordonnées (x';y') du point P', symétrique de P par rapport à C, on utilise les formules suivantes :

$$ \begin{cases} x' = 2x_0 - x \\ \\ y' = 2y_0 - y \end{cases} $$

Ces équations permettent de déterminer directement la position du point symétrique, sans avoir à effectuer de construction géométrique.

Cas particulier : Si le centre de symétrie est l'origine O(0;0) du repère, le calcul devient particulièrement simple. Il suffit de changer le signe des deux coordonnées du point. En effet, puisque x₀=0 et y₀=0, les formules deviennent : $$ \begin{cases} x' = - x \\ \\ y' = - y \end{cases} $$

Voyons maintenant comment appliquer ces formules à un exemple concret.

Choisissons comme centre de symétrie le point P de coordonnées P(x₀;y₀)=(3;2).

Ajoutons deux points dans le plan : A(1;1) et B(4;1).

1. Calcul du symétrique A'

Le point A a pour coordonnées x=1 et y=1. Le centre de symétrie P a pour coordonnées x₀=3 et y₀=2.

Commençons par écrire les formules de la symétrie centrale :

$$ \begin{cases} x' = 2x_0 - x \\ \\ y' = 2y_0 - y \end{cases} $$

Remplaçons les variables par leurs valeurs :

$$ \begin{cases} x' = 6 - 1 \\ \\ y' = 4 - 1 \end{cases} $$

Effectuons les soustractions :

$$ \begin{cases} x' = 5 \\ \\ y' = 3 \end{cases} $$

Nous obtenons donc le point A'(5;3), de coordonnées x'=5 et y'=3.

Le point P est bien le milieu du segment [AA'], conformément à la définition de la symétrie centrale.

2. Calcul du symétrique B'

Passons maintenant au point B, de coordonnées x=4 et y=1. Le centre de symétrie reste P(3;2).

En appliquant les mêmes formules, on obtient :

$$ \begin{cases} x' = 6 - 4 \\ \\ y' = 4 - 1 \end{cases} $$

Après calcul :

$$ \begin{cases} x' = 2 \\ \\ y' = 3 \end{cases} $$

Le symétrique de B est donc le point B'(2;3), de coordonnées x'=2 et y'=3.

Cette fois encore, le point P est le milieu du segment [BB'].

On peut aussi interpréter ces deux transformations comme des rotations de 180° des points A et B autour du centre P.

Remarquons que la distance entre les points A' et B' est égale à celle qui sépare A et B. La symétrie centrale conserve donc bien les distances.

D'où viennent ces formules ? Considérons un point P(x;y) et son symétrique P'(x';y') par rapport à un centre M(x_M;y_M). Puisque M est le milieu du segment [PP'], ses coordonnées sont données par les formules du milieu d'un segment : $$ \begin{cases} x_M = \frac{x+x'}{2} \\ \\ y_M = \frac{y+y'}{2} \end{cases} $$ Pour retrouver les coordonnées de P', multiplions les deux égalités par 2, puis isolons x' et y'. On obtient : $$ \begin{cases} x' = 2x_M - x \\ \\ y' = 2y_M - y \end{cases} $$ Ce sont les équations de la symétrie centrale. Si le centre est l'origine du repère, M(0;0), elles se simplifient encore : $$ \begin{cases} x' = - x \\ \\ y' = - y \end{cases} $$

La symétrie centrale dans l'espace

La symétrie centrale ne se limite pas aux figures planes. Elle s'applique également aux objets de l'espace à trois dimensions.

Dans l'espace euclidien, une symétrie centrale de centre \( O \) est définie par deux propriétés :

• Le point \( O \) reste inchangé : il est son propre symétrique.
• À chaque point \( P \), différent de \( O \), correspond un point \( P' \) tel que \( O \) soit le milieu du segment \( [PP'] \). Les segments \( [OP] \) et \( [OP'] \) ont donc la même longueur, ce que l'on note \( OP \cong OP' \).

L'illustration suivante montre comment cette transformation agit sur un solide dans l'espace.

Le centre \( O \) est l'unique point fixe de la transformation. Tous les autres points changent de position.

Deux solides qui se correspondent par une symétrie centrale sont isométriques : ils conservent la même forme et les mêmes dimensions.

Il existe toutefois une différence importante avec la symétrie centrale dans le plan. Dans l'espace à trois dimensions, la symétrie centrale inverse l'orientation. Elle appartient donc à la catégorie des isométries indirectes, également appelées antidéplacements.

Remarque : Deux solides sont directement isométriques lorsqu'on peut passer de l'un à l'autre par une transformation qui conserve l'orientation, comme une translation ou une rotation. Ils sont indirectement isométriques lorsqu'une transformation qui inverse l'orientation permet de passer de l'un à l'autre. Pensez, par exemple, à une main droite et à une main gauche : elles ont des formes correspondantes, mais aucune combinaison de rotations et de translations ne permet de les superposer. Une symétrie centrale transforme ainsi un solide chiral en un solide de chiralité opposée. En revanche, si le solide est achiral, son image peut également être superposée à l'original par une isométrie directe.

Symétrie par rapport à l'origine et fonctions impaires

La courbe représentative d'une fonction $f(x)$ admet l'origine du repère comme centre de symétrie si, et seulement si, cette fonction est impaire. Pour cela, son ensemble de définition doit être symétrique par rapport à zéro et la fonction doit vérifier la relation $f(-x) = -f(x)$ pour tout x de cet ensemble.

Autrement dit, lorsqu'on remplace x par son opposé, la valeur de la fonction change également de signe.

Cette propriété n'est pas commune à toutes les fonctions. Elle caractérise précisément les fonctions impaires.

Une fonction réelle peut d'ailleurs n'être ni paire ni impaire. Sa courbe ne présente alors nécessairement aucune des deux symétries considérées : celle par rapport à l'axe des ordonnées, caractéristique des fonctions paires, ou celle par rapport à l'origine, caractéristique des fonctions impaires.

À retenir : Une fonction est impaire si son ensemble de définition est symétrique par rapport à zéro et si elle vérifie $f(-x) = -f(x)$ pour tout x de cet ensemble. Elle est paire si, sous la même condition sur son ensemble de définition, elle vérifie $f(-x) = f(x)$. Géométriquement, la courbe d'une fonction impaire admet l'origine comme centre de symétrie, tandis que celle d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple : la fonction cube

Prenons la fonction $f(x) = x^3$, appelée fonction cube.

Elle est définie sur l'ensemble des nombres réels. Pour vérifier qu'elle est impaire, remplaçons x par -x :

$$ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) $$

La condition est bien vérifiée pour tout nombre réel x. La fonction cube est donc impaire, et sa courbe représentative admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Exemple 2

La fonction $f(x) = x^2$ n'est pas impaire.

Pour le vérifier, remplaçons x par -x :

$$ f(-x) = (-x)^2 = x^2 \ne -f(x) = -x^2 $$

En revanche, cette fonction est paire. Sa courbe représentative est en effet symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, puisque :

$$ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) $$

Sa courbe n'admet donc pas l'origine du repère comme centre de symétrie.

Exemple 3

Prenons maintenant la fonction $f(x) = x + 1$. Contrairement aux deux exemples précédents, elle n'est ni paire ni impaire.

En remplaçant x par -x, on obtient :

$$ f(-x) = -x + 1 $$

Or, cette expression n'est identiquement égale ni à $f(x) = x + 1$ ni à $-f(x) = -x - 1$.

La fonction ne vérifie donc aucune des deux conditions de parité. Sa courbe représentative n'est symétrique ni par rapport à l'axe des ordonnées ni par rapport à l'origine du repère.

Nous en concluons que la fonction $f(x) = x + 1$ est ni paire ni impaire.

Pourquoi une fonction impaire est-elle symétrique par rapport à l'origine ?

Pour comprendre le lien entre les fonctions impaires et la symétrie centrale, partons de la définition géométrique de cette transformation.

Une courbe est symétrique par rapport à l'origine O(0;0) si, pour chaque point $(x, y)$ de la courbe, le point $(-x, -y)$ appartient lui aussi à cette courbe.

En effet, la symétrie centrale de centre O transforme les coordonnées selon les équations :

$$ \begin{cases} x' = -x \\ \\ y' = -y \end{cases} $$

Considérons maintenant un point $(x, f(x))$ appartenant à la courbe représentative d'une fonction. Son symétrique par rapport à l'origine est le point $(-x, -f(x))$.

Pour que ce nouveau point appartienne également à la courbe, son ordonnée doit être égale à l'image de son abscisse par la fonction f. Il faut donc que :

$$ f(-x) = -f(x) $$

Retrouvons cette condition en déterminant directement l'équation de la courbe obtenue par symétrie centrale.

Si un point $(x,y)$ appartient à la courbe transformée, son symétrique $(-x,-y)$ appartient à la courbe initiale. On peut donc écrire :

$$ -y = f(-x) $$

En multipliant par -1, on obtient l'équation de la courbe transformée :

$$ y = -f(-x) $$

Pour que la courbe reste inchangée par cette symétrie, elle doit avoir la même équation que la courbe initiale, $y = f(x)$. On en déduit :

$$ f(x) = -f(-x) $$

Cette égalité doit être vérifiée pour tout x de l'ensemble de définition de la fonction, qui doit lui-même être symétrique par rapport à zéro.

Multiplions les deux membres par $-1$ :

$$ -f(x) = f(-x) $$

Ce qui revient à écrire :

$$ f(-x) = -f(x) $$

Nous retrouvons exactement la condition qui caractérise une fonction impaire.

Une fonction est donc impaire si, et seulement si, sa courbe représentative admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Les principales propriétés de la symétrie centrale

La symétrie centrale ne se limite pas à placer des points de part et d'autre d'un centre. Elle possède plusieurs propriétés qui permettent de construire des figures, de résoudre des problèmes géométriques et de comprendre les relations entre différentes transformations.

Voici les principales propriétés à connaître.

• Une figure et son image par symétrie centrale sont isométriques
  La symétrie centrale conserve les distances entre les points. Les longueurs des segments et les mesures des angles restent donc inchangées.
  Une figure et son image ont ainsi exactement la même forme et les mêmes dimensions. Elles sont isométriques, c'est-à-dire superposables par une isométrie. En particulier, la distance entre deux points quelconques est égale à celle qui sépare leurs images.
  
• Les propriétés conservées par la symétrie centrale
  Certaines propriétés géométriques restent inchangées après une symétrie centrale. C'est notamment le cas des longueurs, des mesures des angles, de l'alignement des points et du parallélisme des droites.
  Le centre de symétrie P reste également fixe. En revanche, tous les autres points changent de position. De plus, chaque droite et son image ont la même direction.
• Deux symétries centrales de même centre se composent en l'identité
  Imaginons que l'on applique une symétrie centrale de centre P à une figure, puis que l'on répète exactement la même transformation.
  Après la première symétrie, chaque point se retrouve de l'autre côté du centre. Après la seconde, il revient à sa position initiale.
  La figure retrouve donc sa configuration de départ, comme si aucune transformation n'avait été effectuée. Cette propriété fait de la symétrie centrale une transformation involutive.
  
  Plus généralement, lorsqu'on compose un nombre pair de symétries centrales ayant toutes le même centre, on obtient toujours la transformation identité.
• L'ensemble des symétries centrales n'est pas stable par composition
  Composer deux symétries centrales ne revient pas nécessairement à effectuer une nouvelle symétrie centrale.
  En mathématiques, on dit que l'ensemble des symétries centrales n'est pas stable par composition.
  Par exemple, lorsque les centres P et P' sont distincts, la composition des deux symétries est une translation. Si les centres coïncident, on obtient la transformation identité, qui n'est pas non plus une symétrie centrale au sens habituel.
  
• Le centre de symétrie est l'unique point fixe
  Dans une symétrie centrale, le centre P est le seul point qui ne change pas de position. Il est sa propre image : on l'appelle un point fixe.
  Tous les autres points sont envoyés de l'autre côté du centre, à une distance égale à leur distance initiale. Aucun autre point ne peut donc rester à sa place.
  
• La symétrie centrale conserve le parallélisme
  Lorsqu'on applique une symétrie centrale à une droite, on obtient une droite parallèle à la première, éventuellement confondue avec elle.
  Ainsi, si deux droites sont parallèles avant la transformation, leurs images le restent. Le parallélisme est donc conservé par la symétrie centrale.
  
• Toute droite passant par le centre de symétrie est globalement invariante
  Considérons une droite passant par le centre de symétrie P. Après la transformation, cette droite se retrouve exactement à la même place.
  On dit qu'elle est globalement invariante, car son image est la droite elle-même.
  Attention toutefois : cela ne signifie pas que chacun de ses points reste fixe. À l'exception du centre P, chaque point est envoyé sur un autre point de la même droite, de l'autre côté du centre.
  
• Le centre de symétrie d'une figure
  Une figure possède un centre de symétrie P si la symétrie centrale de centre P la transforme en elle-même.
  Autrement dit, après un demi-tour autour de P, la figure se superpose exactement à sa position initiale.
  Le rectangle, le carré, le losange et le disque sont des exemples classiques de figures possédant un centre de symétrie.
  Plus généralement, tout parallélogramme admet un centre de symétrie situé à l'intersection de ses diagonales.
  
• La symétrie centrale est une transformation involutive
  Une transformation est dite involutive lorsqu'elle est égale à sa propre transformation réciproque.
  C'est précisément le cas de la symétrie centrale. Si nous la notons $ T $, sa transformation réciproque $ T^{-1} $ est égale à T : $$ T^{-1} = T $$ On a donc : $$ T^{-1} \circ T = T \circ T^{-1} = \text{id} $$ Autrement dit, appliquer deux fois la même symétrie centrale revient à ne rien changer. Chaque point retrouve sa position initiale. $$ T \circ T = \text{id} $$
• La composition de deux symétries centrales de centres distincts est une translation
  Que se passe-t-il lorsqu'on applique successivement deux symétries centrales qui n'ont pas le même centre ?
  Considérons deux symétries centrales $S_{M_1}$ et $S_{M_2}$, de centres respectifs $M_1$ et $M_2$. Leur composition est une translation dont le vecteur est égal au double du vecteur reliant les deux centres.
  Le sens de cette translation dépend de l'ordre dans lequel on effectue les symétries.
  Si l'on applique d'abord $S_{M_1}$, puis $S_{M_2}$, on obtient : $$ S_{M_2} \circ S_{M_1} \leftrightarrow \vec{v} = 2\,\overrightarrow{M_1 M_2} $$ La norme du vecteur de translation est donc égale au double de la distance entre les deux centres.
  Si l'on inverse l'ordre des transformations, le vecteur change de sens : $$ S_{M_1} \circ S_{M_2} \leftrightarrow \vec{v} = 2\,\overrightarrow{M_2 M_1} $$

  Exemple : Partons d'un point $A$. Appliquons-lui une première symétrie centrale de centre $M_1$. Nous obtenons un point $B$.
  Appliquons ensuite au point $B$ une seconde symétrie centrale, cette fois de centre $M_2$. Nous obtenons un point $C$.
  
  Ces deux transformations successives produisent exactement le même résultat qu'une translation qui envoie directement le point $A$ sur le point $C$.
  Le vecteur de cette translation est $  \vec{v} = 2\,\overrightarrow{M_1 M_2} $. Sa norme est égale au double de la longueur du segment $[M_1M_2]$. Sa direction est celle de la droite $(M_1M_2)$ et son sens va de $M_1$ vers $M_2$.
  
  Démonstration : Puisque $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à $M_1$, le point $M_1$ est le milieu du segment $[AB]$.
  De même, puisque $C$ est le symétrique de $B$ par rapport à $M_2$, le point $M_2$ est le milieu du segment $[BC]$.
  Dans le triangle $ABC$, les points $M_1$ et $M_2$ sont donc les milieux de deux côtés, respectivement $[AB]$ et $[BC]$.
  D'après le théorème des milieux, le segment $[M_1M_2]$ est parallèle au troisième côté $[AC]$ et sa longueur est égale à la moitié de celle de $[AC]$.
  Sous forme vectorielle, cette propriété s'écrit : $$ \overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$ Multiplions maintenant les deux membres par 2 : $$ \overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{M_1M_2} $$ Le déplacement de $A$ vers $C$ correspond donc bien à une translation de vecteur $ \vec{v} = 2\,\overrightarrow{M_1M_2} $.
  Nous avons ainsi démontré que la composition de deux symétries centrales de centres distincts est une translation.

Ces propriétés montrent que la symétrie centrale est bien plus qu'une simple méthode de construction. Elle intervient dans l'étude des isométries, des transformations géométriques, des figures possédant un centre de symétrie et des fonctions impaires.