Das Bild einer zusammenhängenden Menge unter einer stetigen Abbildung ist zusammenhängend
Sei \( X \) ein zusammenhängender topologischer Raum und sei \( f : X \to Y \) eine stetige Abbildung. Dann ist das Bild \( f(X) \) eine zusammenhängende Teilmenge von \( Y \).
Anschaulich heißt das: Wendet man eine stetige Abbildung auf eine zusammenhängende Menge an, geht deren Zusammenhängigkeit nicht verloren.
Beginnt man mit einem zusammenhängenden Raum \( X \) und bildet ihn mithilfe einer stetigen Abbildung \( f \) ab, so bleibt das entstehende Bild \( f(X) \) „aus einem Stück". Die Eigenschaft der Stetigkeit verhindert, dass der Raum in voneinander getrennte Teile zerfällt.
In diesem präzisen Sinn sagt man, dass die Zusammenhängigkeit unter stetigen Abbildungen erhalten bleibt.
Was bedeutet „zusammenhängend"? Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn er sich nicht als Vereinigung zweier disjunkter, nichtleerer offener Mengen darstellen lässt. Intuitiv gesprochen kann ein zusammenhängender Raum nicht in zwei isolierte Teile zerlegt werden. Ein Streckenabschnitt ist zum Beispiel zusammenhängend, während zwei getrennte Punkte keinen zusammenhängenden Raum bilden.
Ein konkretes Beispiel
Betrachten wir den topologischen Raum
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
Das abgeschlossene Intervall \( [0,1] \) ist zusammenhängend. Man kann es sich als eine durchgehende Menge ohne Lücken oder Unterbrechungen vorstellen.
Definieren wir die Abbildung \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) durch
$$ f(x) = 2x $$
Diese Abbildung ist stetig. Ihr Bild ist daher
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
Die Menge \( f(X) = [0,2] \) ist wiederum ein Intervall und damit ebenfalls zusammenhängend.
Dieses einfache Beispiel zeigt, dass eine stetige Abbildung die Zusammenhängigkeit der Ausgangsmenge bewahrt.
Anmerkung. Damit eine Menge nicht zusammenhängend ist, müsste sie sich in zwei disjunkte, nichtleere offene Mengen zerlegen lassen, deren Vereinigung die gesamte Menge ergibt. Bei einem reellen Intervall wie \( [0,2] \) ist dies nicht möglich, da jeder Trennungsversuch zwangsläufig mindestens einen Punkt unberücksichtigt ließe. Deshalb ist jedes reelle Intervall zusammenhängend.
Beispiel 2
Betrachten wir erneut den Raum
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
Auch das Intervall \( [0,1] \) ist zusammenhängend.
Definieren wir nun die Abbildung \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) durch
$$ f(x) = 0 $$
Die Abbildung \( f \) ist stetig und ihr Bild ist
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
Geometrisch betrachtet wird das gesamte Intervall \( [0,1] \) auf einen einzigen Punkt ($ 0 $) abgebildet.
Trotz dieser starken „Zusammenziehung" bleibt die entstehende Menge zusammenhängend. Die einelementige Menge \( \{ 0 \} \) ist nicht leer und lässt sich nicht in getrennte Teilmengen zerlegen.
Dieses Beispiel verdeutlicht, dass selbst dann, wenn eine stetige Abbildung einen ganzen Raum auf einen Punkt reduziert, die Zusammenhängigkeit des Bildes erhalten bleibt.
Anmerkung. Die Abbildung hat das Intervall komprimiert, ohne es zu zerbrechen. Eine stetige Abbildung kann verschiedene Punkte identifizieren oder die Dimension eines Raumes verringern, sie kann jedoch keine echte Trennung erzeugen. Um ein nicht zusammenhängendes Bild zu erhalten, wäre eine Unstetigkeit notwendig.
Der Beweis
Der Beweis beruht auf einem klassischen Widerspruchsargument.
Wir nehmen an, dass \( X \) ein zusammenhängender Raum ist, sein Bild unter einer stetigen Abbildung \( f \), also \( f(X) \), jedoch nicht zusammenhängend sei.
Wäre \( f(X) \) nicht zusammenhängend, so gäbe es zwei offene Mengen \( U \) und \( V \), die eine Trennung von \( f(X) \) bilden. Das bedeutet:
\( f(X) \subset U \cup V \),
und jeder Punkt von \( f(X) \) läge genau in einer der beiden Mengen, nicht jedoch in beiden gleichzeitig.
Nun folgt der entscheidende Schritt. Da \( f \) stetig ist, ist das Urbild jeder offenen Menge wie
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der offen. Es gilt also:
- \( f^{-1}(U) \) ist eine offene Teilmenge von \( X \)
- \( f^{-1}(V) \) ist eine offene Teilmenge von \( X \)
Diese beiden offenen Mengen sind disjunkt, nicht leer, und ihre Vereinigung überdeckt den gesamten Raum \( X \).
Damit erhält man eine Zerlegung von \( X \) in zwei disjunkte, nichtleere offene Mengen. Dies widerspricht jedoch der Annahme, dass \( X \) zusammenhängend ist.
Der Widerspruch zeigt, dass die ursprüngliche Annahme falsch war. Somit ist das Bild einer zusammenhängenden Menge unter einer stetigen Abbildung notwendigerweise wieder zusammenhängend.
Anmerkung. Anschaulich kann eine stetige Abbildung einen Raum biegen, strecken oder komprimieren, sie kann ihn jedoch weder zerschneiden noch in unabhängige Teile aufspalten. Eine echte Trennung setzt immer das Vorliegen einer Unstetigkeit voraus.
Und so weiter.
