Zusammenhang und Abschluss

Sei $ X $ ein topologischer Raum und sei $ C $ eine zusammenhängende Teilmenge von $ X $. Enthält eine Menge $ A $ die Teilmenge $ C $ und ist sie zugleich im Abschluss von $ C $ enthalten, \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] so ist auch $ A $ eine zusammenhängende Teilmenge von $ X $.

Die Aussage dieses Resultats ist intuitiv gut nachvollziehbar. Ausgangspunkt ist eine zusammenhängende Menge. Fügt man ihr nur solche Punkte hinzu, die weiterhin eng an diese Menge gebunden sind und keine echte Trennung erzeugen, dann bleibt der Zusammenhang erhalten.

Die Menge $ C $ ist bereits zusammenhängend und besitzt daher keine innere Zerlegung. Da $ A $ die Menge $ C $ vollständig enthält, wird kein Teil des ursprünglichen Zusammenhangs entfernt oder unterbrochen.

Entscheidend ist zudem die Bedingung $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Neu hinzukommende Punkte sind niemals isoliert. Topologisch bedeutet dies, dass jede offene Umgebung eines solchen Punktes zwangsläufig Punkte aus $ C $ enthält.

Auf diese Weise setzt sich der Zusammenhang von $ C $ nahtlos auf die Menge $ A $ fort.

Ein konkretes Beispiel
Beweis

Ein konkretes Beispiel

Betrachten wir den topologischen Raum $ X = \mathbb{R} $ mit seiner üblichen Topologie und wählen wir als $ C $ ein offenes Intervall.

$$ C = (0,1) $$

Die Menge $ C $ ist in $ \mathbb{R} $ zusammenhängend, da jedes Intervall der reellen Zahlengeraden eine zusammenhängende Teilmenge darstellt.

Der Abschluss von $ C $ ist

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Wählen wir nun eine Menge $ A $, die zwischen $ C $ und seinem Abschluss liegt, etwa:

\[ A = (0,1] \]

Dann gilt unmittelbar

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

und ebenso

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Damit ist auch die Menge $ A = (0,1] $ zusammenhängend in $ \mathbb{R} $.

Anschaulich gesprochen wird zur zusammenhängenden Menge $ (0,1) $ lediglich der Randpunkt $ 1 $ hinzugefügt. Da dieser Punkt dem Intervall anliegt und keine Trennung erzeugt, bleibt der Zusammenhang erhalten.

Die Menge $ A $ besitzt somit weiterhin die Eigenschaft der Zusammenhängigkeit.

Beweis

Sei $ X $ ein topologischer Raum und sei $ C \subset X $ eine zusammenhängende Teilmenge.

Sei $ A $ eine Menge mit

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

Wir zeigen, dass $ A $ in $ X $ zusammenhängend ist, indem wir einen Widerspruchsbeweis führen. Angenommen, $ A $ sei nicht zusammenhängend.

Dann existiert eine Trennung von $ A $. Das bedeutet, es gibt zwei offene Mengen $ U $ und $ V $ in $ X $, sodass gilt:

$ U $ und $ V $ sind offen in $ X $
$ A \subset U \cup V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ und $ A \cap V \neq \varnothing $
$ A \cap U \cap V = \varnothing $

Da $ C \subset A $ gilt, lässt sich schreiben:

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

Außerdem ist

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]

Damit wäre $ C $ als Vereinigung zweier disjunkter Teilmengen dargestellt.

Die Mengen $ C \cap U $ und $ C \cap V $ sind relativ offen in $ C $, da sie als Schnitte von $ C $ mit offenen Mengen von $ X $ entstehen.

Dies würde eine Trennung von $ C $ liefern, es sei denn, eine der beiden Mengen ist leer.

Da $ C $ zusammenhängend ist, folgt notwendigerweise:

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{oder} \quad C \cap V = \varnothing \]

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass

\[ C \cap V = \varnothing \]

Dann ist $ C $ vollständig in der offenen Menge $ U $ enthalten:

\[ C \subset U \]

Da jedoch $ A \cap V \neq \varnothing $ gilt, existiert ein Punkt

\[ x \in A \cap V \]

Aus der Bedingung $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ folgt

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

Gleichzeitig ist $ x \in V $, wobei $ V $ offen in $ X $ ist.

Damit besitzt $ x $ eine offene Umgebung, nämlich $ V $, die die Menge $ C $ nicht schneidet.

Nach Definition kann ein Punkt aber nur dann im Abschluss von $ C $ liegen, wenn jede seiner offenen Umgebungen die Menge $ C $ trifft.

Folglich gilt:

\[ x \in V \ \text{offen}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]

Dies steht im Widerspruch zur Annahme $ x \in \operatorname{Cl}(C) $.

Der Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch war.

Somit gilt:

\[ A \ \text{ist zusammenhängend in} \ X \]

Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Und so weiter.