Zusammenhang von Teilräumen

Eine Teilmenge $ A $ eines topologischen Raums $ X $ heißt in $ X $ zusammenhängend, wenn sie mit der von $ X $ übernommenen Teilraumtopologie selbst einen zusammenhängenden topologischen Raum bildet.

Diese Definition erweitert den klassischen Begriff des Zusammenhangs. Sie macht deutlich, dass nicht nur ganze Räume, sondern auch einzelne Teilmengen hinsichtlich ihrer Struktur betrachtet werden können. Sobald eine Menge die von $ X $ induzierte Topologie erhält, stellt sich die zentrale Frage: Behält sie ihre Zusammenhangseigenschaft, oder zerfällt sie in voneinander getrennte Bereiche?

Genau darum geht es, wenn man untersucht, ob eine Teilmenge unter der geerbten Topologie weiterhin zusammenhängend bleibt.

Hinweis. Um das zu überprüfen, stattet man die Menge $ A $ mit der Teilraumtopologie aus und prüft, ob sie sich als Vereinigung zweier nichtleerer, disjunkter und in dieser Topologie offener Teilmengen schreiben lässt. Ist das möglich, ist $ A $ in $ X $ nicht zusammenhängend. Falls nicht, bleibt $ A $ zusammenhängend.

Ein anschauliches Beispiel

Betrachten wir die reelle Zahlengerade $ \mathbb{R} $ mit ihrer üblichen Topologie und die Menge:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

In dieser Menge fehlt genau ein Punkt: die Null. Links finden wir alle Werte von -1 bis 0, ohne 0. Rechts alle Werte von 0 bis 1, ebenfalls ohne 0.

Obwohl nur ein einziger Punkt fehlt, reicht das aus, um $ A $ in zwei klar getrennte Bereiche zu teilen:

das Intervall von -1 bis 0 ohne 0
das Intervall von 0 bis 1 ohne 0

Diese Bereiche können wir wie folgt benennen:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Beide Mengen, $ U $ und $ V $, sind in der Teilraumtopologie auf $ A $ offen. Sie haben keinen gemeinsamen Punkt und decken zusammen die gesamte Menge $ A $ ab. Das entspricht exakt der Situation einer Trennung, also einer Zerlegung eines Raums in zwei nichtleere, disjunkte und offene Teilmengen.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Damit wird deutlich: Die Teilmenge $ A $ ist, als Teilraum von $ \mathbb{R} $ betrachtet, nicht zusammenhängend.