Congruencia Módulo n

La congruencia módulo n es una relación de equivalencia definida sobre el conjunto de los números enteros ℤ. Dos elementos a y b en ℤ se consideran congruentes módulo n si su diferencia es un múltiplo de n: $$ a\rho b \:\: (mod \: n) \Leftrightarrow a - b = k \cdot n,\ \text{donde } k \in \mathbb{Z} $$

Ejemplo

Ejemplo 1

Sean a = 10 y b = 4. Decir que a es congruente con b módulo n = 2 significa que la diferencia a − b debe ser divisible por 2:

$$ a \equiv_n b $$

$$ 10 \equiv_2 4 \Leftrightarrow 10 - 4 = 6 = 3 \cdot 2 $$

Como la diferencia a − b = 6 es un múltiplo de 2, la congruencia se cumple.

Ejemplo 2

Ahora tomemos a = 7 y b = 4. Comprobamos si 7 es congruente con 4 módulo 2:

$$ a \equiv_n b $$

$$ 7 \equiv_2 4 \Leftrightarrow 7 - 4 = 3 = k \cdot 2 $$

Sin embargo, no existe ningún entero k tal que \( k \cdot 2 = 3 \), por lo tanto la diferencia no es divisible por 2.

En consecuencia, 7 no es congruente con 4 módulo 2 y, por tanto, la congruencia no se cumple.