Relaciones Simétricas
¿Qué es una relación simétrica?
Una relación se denomina simétrica si, cada vez que un elemento a está relacionado con un elemento b, entonces b también está relacionado con a. $$ \forall a,b \in X \ , \ aRb \Rightarrow bRa $$
Se las llama "simétricas" porque, al representarse gráficamente, exhiben una estructura visualmente especular.
Por ejemplo, si X es hermano de Y, entonces Y también es hermano de X.
Las relaciones simétricas constituyen una subclase dentro del conjunto de relaciones definidas sobre un conjunto.
Nota. Una relación simétrica forma parte de las relaciones de equivalencia si además es reflexiva y transitiva.
Un Ejemplo Práctico
Consideremos el conjunto:
$$ A = \{ -1, -2, -3, 1, 2, 3 \} $$
Definimos una relación R que vincula cada número con su opuesto aditivo.
$$ R = \{ (-1;1), (-2;2), (-3;3), (1;-1), (2;-2), (3;-3) \} $$
Esta relación es un subconjunto del producto cartesiano AxA.
Podemos representarla mediante una tabla de doble entrada.
La tabla muestra una simetría clara respecto a la diagonal principal.
Por cada celda que cumple la relación (resaltada en color), su reflejo con respecto a la diagonal también forma parte de la relación: ambas están marcadas de forma idéntica.
Por ejemplo, -2 es el opuesto de 2, y 2 lo es de -2.
Esta simetría resulta aún más evidente al representar la relación en el plano cartesiano.
En este caso, la simetría se refleja a lo largo de la bisectriz.
Nota. En una representación gráfica de una relación simétrica, a toda arista dirigida de un vértice a otro le corresponde una arista en sentido inverso.
Otros Ejemplos
- La relación "x es perpendicular a y" es simétrica, ya que si una recta x forma un ángulo recto con y, entonces y también lo forma con x.
Observaciones Adicionales
Algunos aspectos clave sobre las relaciones simétricas:
- El hecho de que una relación no sea simétrica no implica que sea asimétrica: existen relaciones que no son ni simétricas ni asimétricas.
- La simetría no es lo opuesto de la antisimetría; de hecho, una relación puede carecer de ambas propiedades.
Y así sucesivamente.
