Relación de Perímetros en Polígonos Semejantes

En polígonos semejantes, la relación entre sus perímetros es exactamente la misma que la existente entre cualquier par de lados correspondientes. $$ P : P' = l : l' $$ 

En términos sencillos, si dos polígonos son semejantes, sus perímetros reflejan directamente el factor de escala k que los relaciona.

Este principio pone de manifiesto que la semejanza entre figuras no solo afecta sus formas, sino también la longitud de sus perímetros.

No obstante, este teorema se cumple únicamente en el caso de polígonos semejantes.

Un Ejemplo Concreto

Consideremos dos triángulos semejantes, aunque este mismo razonamiento es válido para cualquier tipo de polígono, tanto regular como irregular.

 

En este caso, el factor de escala es k = 2.

$$ \frac{6}{3} = \frac{4}{2} = \frac{7.2}{3.6} = 2 $$

Lo mismo ocurre con la relación entre los perímetros de estos polígonos, que también es 2.

$$ \frac{6+4+7.2}{3+2+3.6} = \frac{17.2}{8.6} = 2 $$

Por tanto, la relación entre los perímetros de polígonos semejantes coincide con el factor de escala de sus lados correspondientes.

Demostración

Tomemos, por ejemplo, dos polígonos semejantes.

Por definición, la semejanza implica que los lados correspondientes son proporcionales.

$$ a : a' = b : b' = c : c' $$

Esto significa que existe una razón constante entre los lados correspondientes, igual a k:

$$ \frac{ a }{ a' } = \frac{ b }{ b' } = \frac{ c }{ c' } = k $$

Gracias a esta proporcionalidad, también podemos escribir:

$$ \frac{ a+b+c }{ a'+b'+c' } = k $$

donde la suma a+b+c = P es el perímetro del primer polígono, y a'+b'+c' = P' es el perímetro del segundo.

$$ \frac{ P }{ P' } = k $$

Si sabemos que la razón entre dos lados correspondientes es k,

$$ \frac{ a }{ a' } = k $$

se deduce que sus perímetros guardan exactamente la misma proporción.

$$ \frac{ P }{ P' } = \frac{ a }{ a' } = k $$

Esto confirma que la razón entre los perímetros está directamente vinculada a la razón entre los lados correspondientes de los polígonos semejantes.

$$ P : P' = a : a' $$

Y con esto queda demostrado.