Connectivité en topologie

En topologie, un espace est considéré connecté s'il ne peut être décomposé en ensembles ouverts disjoints. Ainsi, la connectivité désigne la capacité d'un espace à permettre à deux points quelconques d'être reliés par un chemin, sans sortir de cet espace.

La connectivité illustre la manière dont les parties d'un espace topologique sont interconnectées ou séparées.

Ce concept est essentiel en topologie, tout comme celui de continuité.

La connectivité est primordiale dans de nombreux domaines des mathématiques, car elle offre des perspectives sur la structure des espaces et les interactions entre leurs composantes. Elle est notamment utile pour classifier et analyser les espaces topologiques.

Exemple pratique

Que ce soit dans le cas d'une figure plane ou d'un polyèdre, un espace est jugé connecté s'il existe un chemin continu qui relie n'importe quels deux points A et B de cet espace, sans jamais le quitter.

À l'inverse, si des parties de l'espace sont isolées, alors l'espace est dit non connecté (qualifié d'espace déconnecté).

Par exemple, dans cette configuration, l'espace est scindé en deux parties disjointes, et tout chemin reliant les points A et B sortirait de l'espace.

Il est pertinent d'explorer plus avant le concept d'espaces déconnectés avec un autre exemple concret.

Quand parle-t-on d'espace déconnecté ?

L'exemple le plus simple d'un espace déconnecté pourrait être celui de deux pièces séparées dans un même bâtiment, divisées par un mur. Ces pièces sont deux ensembles ouverts qui excluent leurs limites (les murs) et sont séparées.

Bien que les pièces paraissent connectées, elles ne le sont pas, car tout trajet du point A au point B imposerait de traverser le mur, situé hors de l'espace défini.

En somme, il est crucial de se rappeler que les frontières ne constituent pas une partie des ensembles ouverts.

Connectivité locale

La connectivité locale se manifeste lorsqu'un ensemble ouvert dans l'espace, bien qu'isolé des autres, dispose d'un voisinage connecté. Cela signifie que chaque point est inclus dans un sous-ensemble ouvert connecté.

Considérez, par exemple, un espace formé d'ensembles ouverts disjoints, tel que les deux pièces distinctes d'un bâtiment.

Bien que l'espace soit déconnecté, il n 'est pas possible de relier les points A et B sans franchir les murs.

Cependant, au point A, un sous-ensemble l'englobe où tous les points sont interconnectés, ce qui illustre la connectivité locale.

De la même façon, le point B bénéficie également d'une connectivité locale.

Types de connexions

Il existe plusieurs formes de connectivité, les deux principales étant :

• Connexité topologique
  Un espace topologique $ X $ est dit connexe lorsqu’il est impossible de le décomposer en deux ensembles ouverts, disjoints et non vides dont la réunion constitue tout l’espace. Autrement dit, il n’existe aucun moyen de “scinder” l’espace en deux régions distinctes et indépendantes.

  Exemple. L’intervalle (-1, 1) est connexe, tandis que l’union (-1, 0) ∪ (0, 1) ne l’est pas, car elle peut être exprimée comme la réunion de deux ensembles ouverts, disjoints et non vides - (-1, 0) et (0, 1) - qui couvrent tout l’espace.
  Ces deux ensembles forment ainsi une séparation de l’espace.

• Connexité par chemins (ou par arcs)
  On dit qu’un espace topologique est connexe par chemins si, pour tout couple de points A et B de cet espace, il existe un chemin continu reliant A à B et entièrement contenu dans l’espace. Tout espace connexe par chemins est nécessairement connexe, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.
  

  Par exemple, considérons une figure fermée dans le plan. Pour n’importe quel couple de points intérieurs A et B, il est possible de tracer une courbe continue reliant ces deux points sans lever le crayon du papier ni sortir de la figure.
  
  Différence entre connexité par arcs et par chemins.  La connexité par arcs est une forme plus stricte de la connexité par chemins : dans ce cas, le chemin doit être injectif, c’est-à-dire qu’il ne peut ni se croiser ni repasser deux fois par le même point.

• Connectivité simple
  Un espace est simplement connecté si toute boucle fermée en son sein peut être réduite à un point, indiquant un espace unifié sans cavités internes. Un espace simplement connecté est toujours connecté, mais tous les espaces connectés ne sont pas nécessairement simplement connectés. En termes techniques, dans un espace topologique simplement connecté, chaque boucle est homotopique à un point.

  Une sphère, par exemple, est simplement connectée puisque toute boucle sur sa surface peut être rétrécie à un point. À l'inverse, un beignet, avec son trou central, ne permet pas de réduire chaque boucle à un point, soulignant ainsi sa nature connectée mais non simplement connectée.
  
  
  Un tel espace, connecté mais pas simplement connecté, est dit multi-connecté. L'espace annulaire est un exemple parfait de ce type de connectivité.

Observations

Voici quelques réflexions et observations personnelles :

• Dans le domaine des nombres réels, les seuls espaces connectés sont les intervalles.