L’image d’un ensemble connexe par une application continue est connexe
Soit \( X \) un espace topologique connexe et soit \( f : X \to Y \) une application continue. Alors l'image \( f(X) \) est un sous-ensemble connexe de \( Y \).
En termes simples, une application continue appliquée à un ensemble connexe ne peut pas en détruire la connexité.
Si l'on part d'un espace connexe \( X \) et qu'on le transforme à l'aide d'une application continue \( f \), l'ensemble obtenu \( f(X) \) reste « d'un seul morceau ». La continuité empêche toute séparation en parties indépendantes.
C'est dans ce sens précis que l'on affirme que la connexité est conservée par les applications continues.
Que signifie « connexe » ? Un espace topologique est dit connexe lorsqu'il est impossible de l'écrire comme la réunion de deux ensembles ouverts, disjoints et non vides. Intuitivement, un espace connexe ne peut pas être découpé en deux parties isolées. Par exemple, un segment de droite est connexe, alors que deux points isolés forment un espace non connexe.
Un exemple concret
Considérons l'espace topologique
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
L'intervalle fermé \( [0,1] \) est connexe. On peut le voir comme un bloc continu, sans trou ni interruption.
Définissons l'application $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ par
$$ f(x) = 2x $$
Cette application est continue. Son image est alors
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
L'ensemble \( f(X) = [0,2] \) est encore un intervalle. Il est donc, lui aussi, connexe.
Cet exemple montre clairement que l'application continue ne rompt pas la connexité de l'ensemble de départ.
Remarque. Pour qu'un ensemble ne soit pas connexe, il faudrait pouvoir le décomposer en deux ouverts disjoints et non vides dont la réunion le recouvre entièrement. Cela est impossible pour un intervalle réel comme $ [0,2] $, car toute tentative de séparation laisserait nécessairement au moins un point de côté. C'est pourquoi un intervalle réel est toujours connexe.
Exemple 2
Considérons à nouveau l'espace
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
L'intervalle \( [0,1] \) est connexe.
Définissons cette fois l'application \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) par
$$ f(x) = 0 $$
L'application \( f \) est continue et son image est
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
Géométriquement, tout l'intervalle \( [0,1] \) est écrasé en un seul point ($ 0 $).
Malgré cela, l'ensemble obtenu reste connexe. Le singleton \( \{ 0 \} \) n'est pas vide et ne peut pas être scindé en parties séparées.
Cet exemple montre que même lorsqu'une application continue réduit tout un espace à un point, la connexité de l'image est conservée.
Remarque. L'application a comprimé l'intervalle sans le briser. Une application continue peut identifier des points distincts ou réduire la dimension d'un espace, mais elle ne peut pas produire de séparation. Pour obtenir une image non connexe, une discontinuité serait indispensable.
La démonstration
La démonstration repose sur un raisonnement par l'absurde.
Supposons que \( X \) soit un espace connexe, mais que son image par une application continue, notée \( f(X) \), ne soit pas connexe.
Si \( f(X) \) n'était pas connexe, il existerait deux ensembles ouverts \( U \) et \( V \) formant une séparation de \( f(X) \). Autrement dit, on aurait
\( f(X) \subset U \cup V \),
et chaque point de \( f(X) \) appartiendrait à l'un des deux ensembles, sans appartenir aux deux simultanément.
Voici alors l'argument décisif. Puisque \( f \) est continue, la préimage de tout ouvert est un ouvert. On obtient donc :
- \( f^{-1}(U) \) est un ouvert de \( X \)
- \( f^{-1}(V) \) est un ouvert de \( X \)
Ces deux ouverts sont disjoints, non vides, et leur réunion recouvre tout l'espace \( X \).
On obtient ainsi une décomposition de \( X \) en deux ouverts disjoints et non vides, ce qui contredit la connexité de \( X \).
Cette contradiction montre que l'hypothèse initiale est fausse. On conclut donc que l'image d'un ensemble connexe par une application continue est nécessairement connexe.
Remarque. Intuitivement, une application continue peut plier, étirer ou comprimer un espace, mais elle ne peut ni le couper ni le fragmenter. La séparation d'un espace en parties indépendantes nécessite toujours l'introduction d'une discontinuité.
Et ainsi de suite.
