Connexité et adhérence

Soit $ X $ un espace topologique et soit $ C $ un sous-ensemble connexe de $ X $. Si un ensemble $ A $ contient $ C $ et est inclus dans l'adhérence de $ C $, \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] alors $ A $ est lui aussi un sous-ensemble connexe de $ X $.

L'idée de ce résultat est intuitive et repose sur une observation simple. Lorsque l'on part d'un ensemble connexe et que l'on y ajoute uniquement des points qui restent « au contact » de cet ensemble, sans créer de rupture ni de séparation, la connexité ne peut pas disparaître.

En effet, l'ensemble $ C $ est déjà connexe et ne présente donc aucune séparation interne. Comme $ A $ contient $ C $, aucune partie du domaine initial n'est retirée.

De plus, le fait que $ A $ soit inclus dans l'adhérence de $ C $ impose une contrainte forte. Les nouveaux points éventuellement ajoutés ne sont jamais isolés de $ C $. En termes topologiques, cela signifie que tout voisinage ouvert de ces points rencontre nécessairement $ C $.

La connexité de $ C $ se prolonge donc naturellement à l'ensemble $ A $.

Un exemple concret
Démonstration

Un exemple concret

Considérons l'espace topologique $ X = \mathbb{R} $, muni de sa topologie usuelle, et prenons pour $ C $ un intervalle ouvert.

$$ C = (0,1) $$

L'ensemble $ C $ est connexe dans $ \mathbb{R} $, puisque tout intervalle de la droite réelle est un sous-ensemble connexe.

Son adhérence est donnée par

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Choisissons maintenant un ensemble $ A $ tel que $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Par exemple :

\[ A = (0,1] \]

On vérifie immédiatement que $ C $ est inclus dans $ A $

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

et que $ A $ est inclus dans l'adhérence de $ C $

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Par conséquent, l'ensemble $ A = (0,1] $ est lui aussi connexe dans $ \mathbb{R} $.

Autrement dit, en partant de l'ensemble connexe $ (0,1) $, on a simplement ajouté le point $ 1 $, qui est adhérent à l'ensemble initial. Cette opération n'introduit aucune séparation.

L'ensemble $ A $ conserve donc la propriété de connexité.

Démonstration

Soit $ X $ un espace topologique et soit $ C \subset X $ un sous-ensemble connexe.

Soit $ A $ un ensemble vérifiant

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

Pour montrer que $ A $ est connexe dans $ X $, raisonnons par l'absurde et supposons que $ A $ ne soit pas connexe.

Dans ce cas, il existe une séparation de $ A $. Cela signifie qu'il existe deux ouverts $ U $ et $ V $ de $ X $ tels que :

$ U $ et $ V $ sont ouverts dans $ X $
$ A \subset U \cup V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ et $ A \cap V \neq \varnothing $
$ A \cap U \cap V = \varnothing $

Considérons maintenant l'ensemble $ C $.

Comme $ C \subset A $, on peut écrire :

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

De plus :

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]

Ainsi, $ C $ est l'union de deux sous-ensembles disjoints.

Les ensembles $ C \cap U $ et $ C \cap V $ sont ouverts dans $ C $ pour la topologie induite, puisqu'ils résultent de l'intersection de $ C $ avec des ouverts de $ X $.

Par conséquent, $ C $ admettrait une séparation, sauf si l'un de ces deux ensembles était vide.

Or $ C $ est connexe et n'admet aucune séparation.

Il s'ensuit que l'un des deux ensembles doit être vide :

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{ou} \quad C \cap V = \varnothing \]

Supposons, sans perte de généralité, que

\[ C \cap V = \varnothing \]

Alors $ C $ est entièrement inclus dans l'ouvert $ U $.

\[ C \subset U \]

Comme $ A \cap V \neq \varnothing $, choisissons un point

\[ x \in A \cap V \]

La condition $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ implique que

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

Mais $ x \in V $, et $ V $ est un ouvert de $ X $.

Le point $ x $ possède donc un voisinage ouvert, à savoir $ V $, qui ne rencontre pas $ C $.

Or, par définition, un point appartient à l'adhérence de $ C $ si et seulement si tout voisinage ouvert de ce point rencontre $ C $.

Il en résulte que $ x $ ne peut pas appartenir à l'adhérence de $ C $.

\[ x \in V \ \text{ouvert}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]

Cette contradiction montre que l'hypothèse de départ est fausse.

On en conclut que

\[ A \ \text{est connexe dans} \ X \]

Ce qui achève la démonstration.

Et ainsi de suite.