Connexité des sous-ensembles

Un sous-ensemble $ A $ d’un espace topologique $ X $ est dit connexe dans $ X $ lorsqu’il est muni de la topologie de sous-espace induite par $ X $ et qu’il forme ainsi un espace topologique connexe.

Cette perspective permet d’étendre la notion de connexité à n’importe quelle partie d’un espace topologique. Il suffit d’examiner la structure obtenue lorsque l’on considère la topologie que $ X $ transmet à ce sous-ensemble.

En pratique, il s’agit de déterminer si le sous-ensemble conserve la propriété de connexité une fois doté de cette topologie induite.

Note. Pour établir si $ A $ est connexe, on le munit de la topologie de sous-espace puis on vérifie s’il peut être exprimé comme l’union de deux parties non vides, disjointes et ouvertes pour cette topologie. Si une telle décomposition existe, alors $ A $ est non connexe dans $ X $. Dans le cas contraire, $ A $ est connexe.

Un exemple concret

Considérons la droite réelle $ \mathbb{R} $ munie de sa topologie usuelle, et l’ensemble :

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Cet ensemble omet un seul point, le zéro. Sur la partie gauche, il regroupe tous les réels de $-1$ à $0$ sans inclure ce dernier. Sur la partie droite, il contient tous les réels de $0$ à $1$, là encore sans inclure $0$.

L’absence de ce point suffit à scinder $ A $ en deux régions distinctes :

l’intervalle $[-1,0)$
l’intervalle $(0,1]$

On les note :

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Les ensembles $ U $ et $ V $ sont ouverts dans $ A $ pour la topologie de sous-espace. Ils sont disjoints et leur union reconstitue exactement l’ensemble initial, ce qui correspond précisément à la définition d’un espace non connexe.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

On en déduit que le sous-ensemble $ A $, considéré comme sous-espace de $ \mathbb{R} $, n’est pas connexe.