Quadrivecteur vitesse

En d’autres termes, le quadrivecteur vitesse représente la vitesse mesurée par rapport au temps propre $ \tau $ d’un objet, c’est-à-dire le temps écoulé dans son propre référentiel.

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} $$

Le produit scalaire entre les formes contravariante et covariante du quadrivecteur vitesse est constant dans tous les référentiels inertiels : il s’agit d’un invariant relativiste fondamental.

$$ U^\mu U_\mu = c^2 $$

Cette valeur reste identique pour tout observateur, quel que soit le référentiel choisi.

Définition et interprétation

Le quadrivecteur vitesse est défini comme la dérivée du quadrivecteur position $x^\mu = ( ct, x, y, z )$ par rapport au temps propre $\tau$ de la particule :

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} $$

Autrement dit, il décrit la variation des coordonnées spatio-temporelles d’une particule en fonction de son temps propre, mesuré dans le référentiel où elle est immobile.

En développant ses quatre composantes, on obtient :

$$ U^\mu = \left( \frac{d(ct)}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau} \right) $$

Le premier terme correspond à la composante temporelle ($ct$), tandis que les trois autres représentent les composantes spatiales ($x, y, z$).

La dérivée par rapport à $\tau$ exprime la variation de chaque coordonnée par unité de temps propre.

Comme le temps propre et le temps de coordonnées sont reliés par le facteur de Lorentz $ \gamma $,

$$ d\tau = \frac{dt}{\gamma}, \qquad \text{où } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$

on peut réécrire cette dérivée sous la forme :

$$ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \frac{dx^\mu}{dt} \cdot \frac{dt}{d\tau} $$

Puisque $ d\tau = \frac{dt}{\gamma} $, on a $ \gamma = \frac{dt}{d\tau} $, d’où :

$$ U^\mu = \gamma \frac{dx^\mu}{dt} $$

Cette relation permet d’exprimer le quadrivecteur vitesse en fonction du temps de coordonnées $t$, tel qu’il est mesuré par un observateur extérieur.

En développant explicitement les dérivées :

$$ U^\mu = \gamma \frac{d}{dt}(ct, x, y, z) $$

$$ U^\mu = \gamma \left( \frac{d(ct)}{dt}, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) $$

Chaque composante de la vitesse ordinaire est donc multipliée par le facteur $\gamma$.

$$ \frac{d(ct)}{dt} = c $$

$$ \frac{dx}{dt} = v_x, \qquad \frac{dy}{dt} = v_y, \qquad \frac{dz}{dt} = v_z $$

Les composantes explicites du quadrivecteur vitesse contravariant s’écrivent alors :

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) $$

ou, sous une forme plus compacte :

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma \vec{v}) $$

La composante temporelle est $\gamma c$, tandis que la partie spatiale correspond à $\gamma$ multiplié par la vitesse ordinaire $\vec{v}$.

Pour obtenir le quadrivecteur vitesse covariant, on abaisse l’indice à l’aide de la métrique de Minkowski de signature $(+ - - -)$ :

$$ U_\mu = g_{\mu\nu} U^\nu $$

où $ g_{\mu\nu} $ désigne le tenseur métrique, qui change le signe des composantes spatiales :

$$ g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

On en déduit les composantes du quadrivecteur vitesse covariant :

$$ U_\mu = (U_0, U_1, U_2, U_3) = (\gamma c, -\gamma v_x, -\gamma v_y, -\gamma v_z) $$

ou, sous une forme condensée :

$$ U_\mu = (\gamma c, -\gamma \vec{v}) $$

Comme prévu, la composante temporelle reste positive, tandis que les composantes spatiales changent de signe, reflet de la structure pseudo-euclidienne de l’espace-temps.

Calculons à présent le produit scalaire des deux formes du quadrivecteur :

$$ U^\mu U_\mu = U^0 U_0 + U^1 U_1 + U^2 U_2 + U^3 U_3 $$

En remplaçant les composantes :

$$ U^\mu U_\mu = (\gamma c)(\gamma c) + (\gamma v_x)(-\gamma v_x) + (\gamma v_y)(-\gamma v_y) + (\gamma v_z)(-\gamma v_z) $$

$$ U^\mu U_\mu = \gamma^2 (c^2 - v_x^2 - v_y^2 - v_z^2) $$

$$ U^\mu U_\mu = \gamma^2 (c^2 - v^2) $$

où $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$.

En remplaçant $\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, on obtient :

$$ U^\mu U_\mu = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)^2 (c^2 - v^2) $$

$$ U^\mu U_\mu = \frac{c^2 - v^2}{1 - v^2/c^2} $$

$$ U^\mu U_\mu = \frac{c^2 - v^2}{ \frac{c^2 - v^2}{c^2}} $$

$$ U^\mu U_\mu = (c^2 - v^2) \cdot \frac{c^2}{c^2 - v^2} $$

$$ U^\mu U_\mu = c^2 $$

Les termes dépendant de $v$ s’annulent exactement, et le résultat final est $c^2$, indépendant de la vitesse de la particule.

Autrement dit, $U^\mu U_\mu = c^2$ constitue un véritable invariant relativiste, commun à tous les observateurs inertiels, même si $\gamma$ et $\vec{v}$ diffèrent d’un cadre à l’autre.

Bien que les composantes de $U^\mu$ se transforment lors d’un changement de référentiel, sa norme dans l’espace-temps - la norme du quadrivecteur vitesse - demeure constante et égale à $c^2$.

On démontre ainsi que le produit scalaire entre $U^\mu$ et $U_\mu$ est un invariant relativiste, identique pour tous les observateurs.

Exemple numérique

Considérons un vaisseau spatial se déplaçant à $0{,}6c$ le long de l’axe $x$ :

$$ v = 0.6c $$

Calculons le facteur de Lorentz :

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.6^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.64}} = 1.25 $$

Le facteur $\gamma$ indique de combien le temps propre du vaisseau s’écoule plus lentement que le temps de coordonnées.

Le quadrivecteur vitesse contravariant est alors :

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) $$

Le mouvement ayant lieu uniquement selon l’axe $x$ :

$$ U^\mu = (\gamma c, \gamma v, 0, 0) $$

En substituant les valeurs numériques :

$$ U^\mu = (1.25c, 1.25 \times 0.6c, 0, 0) $$

$$ U^\mu = (1.25c, 0.75c, 0, 0) $$

La première composante correspond à la “vitesse temporelle”, tandis que les autres forment la partie spatiale, multipliée par le facteur $\gamma$.

Le quadrivecteur vitesse covariant, obtenu par la métrique de Minkowski, est :

$$ U_\mu = (1.25c, -0.75c, 0, 0) $$

Les composantes spatiales changent de signe, conformément à la signature de la métrique.

Calculons enfin le produit scalaire :

$$ U^\mu U_\mu = U^0 U_0 + U^1 U_1 + U^2 U_2 + U^3 U_3 $$

$$ U^\mu U_\mu = (1.25c)(1.25c) + (0.75c)(-0.75c) + (0 \cdot 0) + (0 \cdot 0) $$

$$ U^\mu U_\mu = 1.5625c^2 - 0.5625c^2 = 1.0c^2 $$

$$ U^\mu U_\mu = c^2 $$

Cet exemple numérique confirme que le produit scalaire des deux formes de $U$ ne dépend pas de la vitesse et vaut toujours $c^2$ : c’est un invariant relativiste essentiel.

Voilà, en substance, l’idée fondamentale.