Différence entre temps propre et temps de laboratoire

En relativité restreinte, le temps propre est celui qu’indique une horloge accompagnant l’objet en mouvement. Le temps de laboratoire, quant à lui, correspond au temps mesuré par une horloge située dans le référentiel inertiel de l’observateur.

Cette distinction découle directement du principe de relativité d’Einstein : le temps n’est pas absolu ; il dépend du référentiel choisi et de son état de mouvement.

En d’autres termes, chaque observateur dispose de son propre “temps personnel”, valable uniquement dans son cadre de référence.

Par exemple, une horloge installée à bord d’un vaisseau spatial voyageant à une vitesse proche de celle de la lumière retarde par rapport à une horloge restée immobile sur Terre.

La relation entre ces deux mesures du temps s’exprime par l’équation :

$$ t = \gamma \tau $$

Dans cette expression, la lettre grecque gamma ($\gamma$) représente le facteur de Lorentz, qui décrit dans quelle mesure le mouvement relatif entre deux référentiels modifie la mesure du temps :

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

On peut donc écrire la relation complète sous la forme :

$$ t = \frac{\tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

où les symboles désignent :

• $t$ : le temps de laboratoire, mesuré par un observateur au repos ;
• $\tau$ : le temps propre, mesuré dans le référentiel en mouvement ;
• $v$ : la vitesse de l’objet par rapport à l’observateur ;
• $c$ : la vitesse de la lumière dans le vide.

Cette formule met en évidence un phénomène remarquable : plus la vitesse $v$ d’un corps se rapproche de celle de la lumière $c$, plus le temps mesuré dans le référentiel en mouvement (t) s’allonge par rapport au temps propre (τ). Ce ralentissement apparent de l’écoulement du temps est connu sous le nom de dilatation temporelle, l’un des effets les plus emblématiques de la relativité restreinte.

La formule montre que lorsque $v = 0$, autrement dit lorsque l’objet est immobile, on obtient $t = \tau$ : les deux horloges indiquent le même temps.

À mesure que $v$ augmente, on vérifie que $t > \tau$ : le temps de laboratoire s’écoule plus rapidement que le temps propre.

Dans la limite $v \rightarrow c$, on a $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \rightarrow 0$, d’où $t \rightarrow \infty$ : le temps propre semble pratiquement s’arrêter par rapport au temps de laboratoire.

Un exemple concret

Imaginons que le vaisseau spatial se déplace à la vitesse $v = 0{,}8c$.

Une horloge embarquée mesure alors un intervalle de temps propre de :

$$ \tau = 1{,}0 \text{ s} $$

Calculons le temps de laboratoire correspondant sur Terre :

$$ t = \frac{1{,}0}{\sqrt{1 - (0{,}8)^2}} = \frac{1{,}0}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1{,}0}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1{,}0}{0{,}6} = 1{,}67 \text{ s} $$

Autrement dit, pour chaque seconde écoulée sur l’horloge du vaisseau (point C), il s’en écoule 1,67 sur Terre (point A).

Remarque. La dilatation du temps n’est pas qu’une construction théorique : elle a été vérifiée expérimentalement, par exemple en comparant des horloges atomiques embarquées dans des avions ou des satellites avec celles restées au sol. Un autre cas remarquable est celui de la désintégration des muons : ces particules instables, lorsqu’elles se déplacent à des vitesses proches de celle de la lumière, présentent une durée de vie bien plus longue que celle mesurée au repos.

Et ainsi de suite.