Énergie relativiste
L’énergie relativiste d’un corps de masse $ m $ se déplaçant à une vitesse $ v $ s’écrit : $$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$ où $ c $ désigne la vitesse de la lumière. À basse vitesse, lorsque $ v \ll c $, cette relation se simplifie en : $$ E \approx m c^2 + \tfrac{1}{2} m v^2 $$ De manière générale, pour toute vitesse, l’énergie peut également s’exprimer en fonction de la quantité de mouvement $ p $ selon : $$ E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2 $$
En relativité restreinte, masse et énergie ne constituent pas des grandeurs distinctes, mais deux aspects d’une même réalité physique.
Tout corps doté d’une masse au repos $ m $ possède une énergie intrinsèque, appelée énergie de repos, décrite par la célèbre équation d’Einstein :
$$ E_0 = m c^2 $$
Lorsqu’un corps est en mouvement, son énergie totale résulte de la somme de son énergie de repos et de l’énergie due à son mouvement, formant l’énergie relativiste totale :
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
À basse vitesse ($ v \ll c $), cette expression se réduit à la somme de l’énergie de repos et de l’énergie cinétique classique $ \tfrac{1}{2} m v^2 $.
$$ E \approx m c^2 + \tfrac{1}{2} m v^2 $$
À mesure que la vitesse se rapproche de celle de la lumière ($ v \to c $), le facteur de Lorentz $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $ croît sans limite. Cela signifie que l’énergie nécessaire pour continuer d’augmenter la vitesse tend vers l’infini :
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma m c^2 = \infty $$
Il en résulte qu’aucun objet de masse non nulle ($ m>0 $) ne peut atteindre la vitesse de la lumière $ c $, puisqu’il faudrait pour cela une quantité infinie d’énergie.
Mais certaines particules - comme les photons - se déplacent bel et bien à la vitesse de la lumière.
Pourquoi les photons peuvent-ils voyager à la vitesse de la lumière ?
Les particules dépourvues de masse ($ m=0 $), telles que les photons, ne vérifient pas la relation $ E = \gamma m c^2 $. Elles obéissent à la relation générale entre énergie et quantité de mouvement :
$$ E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2 $$
Si $ m = 0 $, cette relation se simplifie en $ E = p c $, ce qui montre que l’énergie est directement proportionnelle à la quantité de mouvement.
$$ E = p c $$
Ainsi, les photons possèdent une énergie $ E $ et une quantité de mouvement $ p $ finies, bien qu’ils soient dépourvus de masse au repos ($ m=0 $). C’est ce qui explique qu’ils se déplacent toujours à la vitesse de la lumière $ c $.
Nota. Según la ley de Planck, la energía de un fotón es una magnitud finita y viene dada por la ecuación $$ E = h \nu, $$ donde $ h $ es la constante de Planck y $ \nu $ la frecuencia del fotón. Esta relación establece que la energía de la radiación electromagnética es directamente proporcional a su frecuencia.
Analyse et approfondissement
En mécanique classique, l’énergie totale d’un corps est la somme de son énergie potentielle $ U $, de son énergie cinétique $ K = \tfrac{1}{2} m v^2 $ et, le cas échéant, d’autres formes d’énergie (gravitations, élasticité, etc.).
En relativité restreinte, cette distinction n’a plus lieu d’être : lorsque la vitesse d’un corps devient comparable à celle de la lumière, la relation entre masse, énergie et mouvement se transforme profondément.
Einstein a montré que tout corps de masse $ m $ possède une énergie totale donnée par :
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} $$
où :
- $ c $ est la vitesse de la lumière ;
- $ v $ la vitesse du corps ;
- $ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $ le facteur de Lorentz.
Cette équation montre qu’un corps possède une énergie $ E_0 $ même lorsqu’il est immobile ($ v = 0 $) :
$$ E_0 = m c^2 $$
Ce résultat emblématique d’Einstein établit que la masse est une forme d’énergie.
Autrement dit, masse et énergie sont équivalentes : l’une peut se convertir en l’autre.
Examinons maintenant les deux régimes limites : celui des faibles vitesses (limite classique) et celui des vitesses proches de la lumière (régime relativiste).
La limite des faibles vitesses
Lorsque $ v $ est très inférieur à $ c $ - autrement dit, $ v \ll c $ - le facteur de Lorentz tend vers l’unité : $ \gamma \approx 1 $.
$$ \lim_{v \to 0} \gamma = \lim_{v \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 1 $$
Dans ce cas, l’énergie totale $ E = \gamma m c^2 $ se réduit à l’énergie de repos $ E_0 = m c^2 $.
$$ E \approx E_0 = m c^2 $$
Pour analyser plus précisément ce comportement, développons le facteur de Lorentz en série de Taylor.
On réécrit d’abord le facteur sous forme de puissance :
$$ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} $$
Le développement en série de Taylor d’un binôme quelconque, valable pour tout exposant $ \alpha $ lorsque $ |x| < 1 $, est :
$$ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3 + \cdots $$
Dans notre cas, $ \alpha = -\tfrac{1}{2} $ et $ x = -\dfrac{v^2}{c^2} $.
$$ (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} = 1 + ( - \frac{1}{2} ) ( - \frac{v^2}{c^2} ) + \frac{1}{2!} ( - \frac{1}{2} ) ( - \frac{3}{2} ) ( - \frac{v^2}{c^2} )^2 + \cdots $$
$$ (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + \frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4} + \cdots $$
Développer une fonction en série de Taylor revient à l’approximer autour d’un point donné - ici, autour de $ v = 0 $.
Les termes successifs deviennent rapidement négligeables :
$$ (\frac{v^2}{c^2} \ll 1), \quad (\frac{v^4}{c^4} \ll \frac{v^2}{c^2}), \ldots $$
Il suffit donc de conserver les premiers termes pour obtenir une très bonne approximation dans la limite classique :
$$ \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} $$
Les termes d’ordre supérieur sont insignifiants tant que $ v \ll c $.
En reportant cette approximation dans l’expression de l’énergie relativiste, on obtient :
$$ E = \gamma m c^2 = (1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}) \cdot m c^2 $$
$$ E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 $$
Le premier terme, $ m c^2 $, est constant et représente l’énergie de repos ; le second, $ \tfrac{1}{2} m v^2 $, correspond à l’énergie cinétique classique.
La mécanique classique apparaît ainsi comme le cas limite de la relativité restreinte, valable lorsque les vitesses sont faibles devant celle de la lumière.
Le régime des hautes vitesses
Lorsque la vitesse $ v $ d’un corps s’approche de celle de la lumière $ c $ ($ v \to c $), son énergie cinétique croît de façon spectaculaire, même pour des augmentations infimes de vitesse.
Pour un corps de masse au repos $ m $, l’énergie relativiste totale s’exprime par :
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
Cette énergie totale se compose de deux contributions : l’énergie de repos $ E_0 $ et l’énergie cinétique $ K $ associée au mouvement, selon la relation :
$$ E = E_0 + K $$
Par définition, l’énergie cinétique est la différence entre l’énergie totale $ E $ et l’énergie de repos $ E_0 $ :
$$ K = E - E_0 $$
En substituant $ E = \gamma m c^2 $, on obtient :
$$ K = \gamma m c^2 - E_0 $$
Pour un corps au repos ($ v = 0 $), le facteur de Lorentz vaut $ \gamma = 1 $, d’où :
$$ E_0 = \gamma m c^2 = 1 \cdot m c^2 = m c^2 $$
En remplaçant $ E_0 = m c^2 $ dans l’expression précédente, on obtient :
$$ K = \gamma m c^2 - m c^2 $$
$$ K = m c^2 (\gamma - 1) $$
On appelle cette quantité l’énergie cinétique relativiste, définie comme la différence entre l’énergie totale et l’énergie de repos ($ K = E - E_0 $). Contrairement à la formule classique $ \tfrac{1}{2} m v^2 $, cette expression reste valable à toutes les vitesses.
Lorsque $ v \to c $, le facteur de Lorentz tend vers l’infini ($ \gamma \to \infty $) :
$$ \lim_{v \to c} \gamma = \lim_{v \to c} \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \infty $$
En conséquence, l’énergie nécessaire pour poursuivre l’accélération du corps croît elle aussi sans limite :
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma m c^2 = m c^2 \cdot \lim_{v \to c} \gamma = \infty $$
Autrement dit, aucun objet doté d’une masse non nulle ne peut atteindre la vitesse de la lumière, car cela nécessiterait une quantité d’énergie infinie ($ E \to \infty $).
$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$
D’un point de vue mathématique, cette divergence s’explique simplement : le numérateur ($ m c^2 $) reste fini pour toute masse $ m>0 $, tandis que le dénominateur tend vers zéro par valeurs positives ($ 0^+ $), entraînant une croissance illimitée de $ E $.
Que se passe-t-il si la particule est dépourvue de masse ?
Pour une particule sans masse, telle qu’un photon, le terme $ m c^2 $ du numérateur s’annule également ($ m = 0 $) :
$$ \lim_{v \to c} E = \lim_{v \to c} \gamma m c^2 = m c^2 \cdot \lim_{v \to c} \gamma = \frac{0}{0} $$
Ce résultat est une forme indéterminée : il ne tend pas nécessairement vers l’infini.
Dans ce cas, il faut utiliser la relation fondamentale entre énergie et quantité de mouvement :
$$ E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2 $$
où $ p = \gamma m v $ désigne la quantité de mouvement relativiste.
Cette équation est universelle : elle s’applique aussi bien aux particules massives qu’aux particules sans masse, offrant ainsi une description unifiée des deux régimes :
- pour $ m>0 $, elle décrit les particules massives ;
- pour $ m=0 $, elle s’applique aux particules dépourvues de masse.
Elle constitue donc la formulation la plus générale de la relation relativiste entre énergie et quantité de mouvement.
Dans le cas d’une particule sans masse ($ m=0 $), l’équation se simplifie en :
$$ E^2 = (p c)^2 $$
En prenant la racine carrée des deux membres, on obtient :
$$ E = p c $$
Ainsi, pour une particule sans masse, l’énergie est égale à sa quantité de mouvement multipliée par la vitesse de la lumière :
$$ E = p c $$
C’est la forme la plus générale de l’énergie pour les particules sans masse, comme les photons.
Voyons maintenant comment se comporte la quantité de mouvement $ p $ lorsque $ v \to c $ :
$$ \lim_{v \to c} p = \lim_{v \to c} \gamma m v = \lim_{v \to c} \frac{m v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{0}{0} $$
Ici encore, lorsque $ m = 0 $, l’expression devient indéterminée ($ 0/0 $).
Cependant, si la masse tend vers zéro ($ m \to 0 $) au même rythme que le dénominateur tend vers zéro ($ \sqrt{1 - v^2/c^2} \to 0 $), le rapport demeure fini :
$$ m \propto \sqrt{1 - v^2/c^2} \Rightarrow p = \text{fini}, \quad E = p c = \text{fini} $$
Si la quantité de mouvement $ p $ est finie, alors l’énergie $ E = p c $ l’est également lorsque $ v \to c $.
Ce comportement caractérise précisément les photons : ils possèdent une énergie $ E $ et une quantité de mouvement $ p $ finies, bien que leur masse au repos soit nulle ($ m = 0 $).
Les photons existent strictement dans cette limite : ils ne peuvent se déplacer à une vitesse inférieure à $ c $, mais uniquement à $ v = c $, où la relation $ E = \gamma m c^2 $ cesse d’être applicable et se remplace par $ E = p c $.
Remarque. En mécanique classique, l’énergie mécanique totale - la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle - se conserve. En relativité, la masse elle-même constitue une forme d’énergie, $ E_0 = m c^2 $. Le principe de conservation s’étend donc pour inclure cette énergie de repos. Ainsi, une diminution de la masse d’un système correspond à une émission d’énergie équivalente, et réciproquement : $$ \Delta E = -\,\Delta m\, c^2 $$ Telle est la signification profonde de l’équation d’Einstein : masse et énergie sont deux aspects équivalents et convertibles d’une même réalité, dont la somme totale demeure invariable.
Et ainsi de suite.
