Quadrivecteur de position
En relativité restreinte, l’espace et le temps ne sont pas traités comme deux entités distinctes, mais rassemblés dans un seul objet mathématique : le quadrivecteur de position espace-temps $$ x^\mu = (ct, \; x, \; y, \; z), \quad \mu=0,1,2,3 $$ où $ ct $ désigne la composante temporelle, avec \( c \) la vitesse de la lumière.
Le facteur $ c $ (exprimé en $ m/s $) est introduit pour ramener toutes les composantes à la même unité de mesure.
En effet, le temps $ t $ s’exprime en secondes, tandis que les coordonnées spatiales $ x, y, z $ se donnent en mètres :
$$ ( t, x, y, z ) $$
Un vecteur qui mélangerait des secondes et des mètres n’a pas de sens physique, puisque ses composantes ne sont pas homogènes.
En multipliant par $ c $, le produit $ ct $ transforme le temps en une grandeur de longueur (en mètres) :
$$ ( ct, x, y, z ) $$
Ainsi, toutes les composantes du quadrivecteur possèdent la même dimension physique.
Remarque. On écrit souvent le quadrivecteur sous une forme plus compacte en posant \( x^0 = ct , \; x^1 = x, \; x^2 = y, \; x^3 = z \) : $$ x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3), \quad \mu=0,1,2,3 $$ Ici $ x^0, x^1, x^2, x^3 $ ne sont pas des puissances de $ x $, mais bien les quatre composantes du quadrivecteur : $ x^0 $ est la première, $ x^1 $ la deuxième, et ainsi de suite.
Transformation de Lorentz
La transformation de Lorentz relie les coordonnées d’un même événement dans le référentiel \( S \) à celles mesurées dans un référentiel \( S' \) en mouvement à la vitesse \( v \) le long de l’axe \( x \).
$$
\begin{cases}
t' &= \gamma\left(t - \tfrac{v}{c^2}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Pour maintenir l’homogénéité des unités, on multiplie la première équation par $ c $ :
$$
\begin{cases}
ct' &= c \gamma\left(t - \tfrac{v}{c^2}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
Ce qui peut se réécrire :
$$
\begin{cases}
ct' &= \gamma\left(ct - \tfrac{v}{c}x\right) \\
x' &= \gamma(x - vt) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
En exprimant la deuxième équation $ \gamma(x - vt) $ sous la forme $ \gamma(x - vt \cdot \tfrac{c}{c}) $, on obtient :
$$
\begin{cases}
ct' &= \gamma\left(ct - \tfrac{v}{c}x\right) \\
x' &= \gamma\!\left(x - \tfrac{v}{c} ct\right) \\
y' &= y \\
z' &= z
\end{cases}
$$
En posant $ x^0 = ct $ et $ x^{0'} = ct' $, avec $ x^1 = x , x^2 = y , x^3 = z $, le système s’écrit :
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\!\left(x^0 - \tfrac{v}{c}x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma\!\left(x^1 - \tfrac{v}{c} x^0\right) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
En introduisant la notation $ \beta = \tfrac{v}{c} $, on obtient :
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\!\left(x^0 - \beta x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma\!\left(x^1 - \beta x^0\right) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
avec
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} $$
De manière plus compacte, en appliquant la convention de sommation d’Einstein, on écrit :
$$ x^{\mu'} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^\nu $$
où $ \Lambda^{\mu}{}_{\nu} $ est la matrice de Lorentz :
$$
\Lambda =
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\
-\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Cette matrice 4×4 agit sur le vecteur colonne \( (x^0, x^1, x^2, x^3)^T \) et fournit le quadrivecteur transformé :
$$ x^{\mu'} = \Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^\nu $$
$$ \begin{pmatrix}
x^{0'} \\
x^{1'} \\
x^{2'} \\
x^{3'}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\
-\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^0 \\
x^1 \\
x^2 \\
x^3
\end{pmatrix}
$$
En effectuant le produit matriciel, on retrouve directement les équations de transformation :
$$
\begin{cases}
x^{0'} &= \gamma\!\left(x^0 - \beta x^1 \right) \\
x^{1'} &= \gamma\!\left(x^1 - \beta x^0\right) \\
x^{2'} &= x^2 \\
x^{3'} &= x^3
\end{cases}
$$
Et ainsi de suite.
