Intervalle espace-temps

L’intervalle espace-temps mesure la séparation entre deux événements dans le continuum espace-temps. $$ I = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$ On l’appelle aussi intervalle de Minkowski.

Ce n’est pas une « distance » au sens euclidien habituel, mais une grandeur qui reste invariante lorsqu’on passe d’un référentiel inertiel à un autre. En d’autres termes, tous les observateurs inertiels trouvent exactement la même valeur.

C’est pourquoi on parle également d’invariant espace-temps. Il permet de quantifier la séparation entre deux événements A et B dans l’espace-temps.

Le signe de (I) détermine la nature de cette séparation :

Si (I > 0), la séparation est de type temporel (timelike)
Les deux événements peuvent être reliés par un objet se déplaçant à une vitesse inférieure à celle de la lumière (c). Cela signifie qu’une relation causale est envisageable : l’événement A peut influencer l’événement B.
Si (I = 0), la séparation est de type nul (lightlike)
Les deux événements ne peuvent être reliés que par quelque chose qui se propage exactement à la vitesse de la lumière, par exemple un photon.
Si (I < 0), la séparation est de type spatial (spacelike)
Dans ce cas, les événements ne peuvent être reliés, même pas par la lumière. Aucune influence causale n’est possible, car aucun signal ne peut voyager assez vite pour les connecter.

En résumé, l’intervalle espace-temps indique si deux événements peuvent s’influencer mutuellement ou non.

Il constitue l’analogue relativiste de la distance euclidienne, mais avec une différence essentielle : le temps et l’espace apparaissent dans l’équation avec des signes opposés.

Un exemple concret

Imaginons un éclair de lumière émis depuis l’origine (O).

Pour simplifier, supposons qu’il se propage le long de l’axe x, de sorte que les coordonnées y et z restent nulles.

Considérons les deux événements suivants :

Événement A (l’origine) : \[ \begin{cases} t_A = 0 \\ x_A = 0 \\ y_A=0 \\ z_A=0 \end{cases} \] Le quadrivecteur de position de l’événement A est $$ x_A^\mu = (c \cdot t_A, x_A, y_A, z_A) = (c \cdot 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) $$
Événement B (arrivée de l’éclair) : \[ \begin{cases} t_B = 1 \\ \text{s} \\ x_B = c \cdot t = 3 \times 10^8 \; \text{m} \\ y_B = 0 \\ z_B = 0 \end{cases} \] Le quadrivecteur de position de l’événement B est $$ x_B^\mu = (ct_B, x_B, y_B, z_B) = (3 \times 10^8, \; 3 \times 10^8, \; 0, \; 0) $$

Calculons maintenant l’intervalle espace-temps :

$$ I = (ct_B - ct_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 $$

$$ I = (3 \times 10^8 - 0)^2 - (3 \times 10^8 - 0)^2 - (0-0)^2 - (0-0)^2 $$

$$ I = (3 \times 10^8)^2 - (3 \times 10^8)^2 - 0 - 0 $$

$$ I = 0 $$

Puisque $ I=0 $, l’intervalle est nul : l’événement B ne peut être atteint depuis A que par un signal se déplaçant exactement à la vitesse de la lumière.

Dans ce cas, les deux événements sont séparés par un intervalle espace-temps nul. Ils se situent sur le cône de lumière de l’origine. Seule la lumière (ou toute autre particule sans masse se propageant à c) peut les relier.

Exemple 2

Considérons maintenant un signal qui part de l’origine (O) et atteint un point de l’espace-temps avec $ t = 2 \,\text{s} $ et $ x = 3 \times 10^8 \,\text{m} $.

Les événements sont :

Événement A (origine) : \[ \begin{cases} t_A = 0 \\ x_A = 0 \\ y_A=0 \\ z_A=0 \end{cases} \] Le quadrivecteur de position de l’événement A est $$ x_A^\mu = (c \cdot t_A, x_A, y_A, z_A) = (c \cdot 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) $$
Événement B (arrivée du signal) : \[ \begin{cases} t_B = 2 \,\text{s} \\ x_B = 3 \times 10^8 \,\text{m} \\ y_B=0 \\ z_B=0 \end{cases} \] Le quadrivecteur de position de l’événement B est $$ x_B^\mu = (ct_B, x_B, y_B, z_B) = (6 \times 10^8, \; 3 \times 10^8, \; 0, \; 0) $$

Calculons maintenant l’intervalle espace-temps entre ces deux événements :

$$ I = (ct_B - ct_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 $$

$$ I = (6 \times 10^8 - 0 )^2 - (3 \times 10^8 - 0)^2 - (0-0)^2 - (0-0)^2 $$

$$ I = 36 \times 10^{16} - 9 \times 10^{16} $$

$$ I = 27 \times 10^{16} > 0 $$

Ici, l’intervalle est $ I>0 $, donc il est temporel : A et B peuvent être reliés par un objet matériel se déplaçant à une vitesse inférieure à $ c $. En d’autres termes, une particule massive ou un observateur pourrait aller de A à B.

Les deux événements se trouvent à l’intérieur du cône de lumière, et même un signal plus lent que la lumière peut les relier.

Et ainsi de suite.