Quadri-vecteur de quantité de mouvement

Le quadri-vecteur de quantité de mouvement est l’une des grandeurs fondamentales de la relativité restreinte. Il unifie, dans une seule structure mathématique, deux concepts distincts de la mécanique classique : la quantité de mouvement $\vec{p}$ et l’énergie $E$.

Le produit scalaire entre les formes contravariante et covariante du quadri-vecteur de quantité de mouvement constitue un invariant de Lorentz, c’est-à-dire qu’il conserve la même valeur dans tous les référentiels inertiels :

$$ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $$

De cette expression découle la relation fondamentale entre énergie et quantité de mouvement dans la théorie de la relativité :

$$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$

Le quadri-vecteur de quantité de mouvement offre ainsi un cadre géométrique unifié reliant énergie et quantité de mouvement, et garantit que les lois de conservation conservent leur forme covariante dans tout référentiel inertiel.

Explication et démonstration

Le quadri-vecteur contravariant de la quantité de mouvement possède quatre composantes :

$$ P^\mu =( \gamma mc, \gamma m v_x,\ \gamma m v_y,\ \gamma m v_z ) $$

La première, ou composante temporelle, est $P^0 = \gamma m c$. Elle correspond à l’énergie totale $E = \gamma m c^2$ divisée par $c$ :

$$ P^0 = \frac{E}{c} = \frac{\gamma m c^2}{c} = \gamma m c $$

Les trois composantes spatiales restantes forment la quantité de mouvement relativiste :

$$ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $$

On peut donc écrire le quadri-vecteur de manière compacte :

$$ P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \vec{p}\right) $$

La forme covariante du quadri-vecteur s’obtient en appliquant la métrique de Minkowski, qui inverse le signe des composantes spatiales :

$$ P_\mu = g_{\mu\nu} P^\nu $$

$$ P_\mu = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} P^\nu $$

$$ P_\mu = ( \gamma mc, -\gamma m v_x, -\gamma m v_y, -\gamma m v_z ) $$

Le produit scalaire entre les formes contravariante et covariante est invariant par transformation de Lorentz : il garde la même valeur dans tous les référentiels inertiels :

$$ P^\mu P_\mu = (\gamma mc)^2 - (\gamma m v_x)^2 - (\gamma m v_y)^2 - (\gamma m v_z)^2 $$

$$ P^\mu P_\mu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - p^2 = m^2 c^2 $$

En regroupant les composantes spatiales, on obtient :

$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m c)^2 - (\gamma m)^2 (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) $$

Or, $v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = v^2$, d’où :

$$ P^\mu P_\mu = (\gamma m)^2 (c^2 - v^2) $$

En rappelant que $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $, on simplifie ainsi :

$$ P^\mu P_\mu = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \right)^2 m^2 (c^2 - v^2) $$

$$ P^\mu P_\mu = \frac{1}{1 - v^2/c^2} m^2 (c^2 - v^2) $$

$$ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $$

Ce résultat confirme que le produit scalaire du quadri-vecteur de quantité de mouvement est un invariant relativiste, valable dans tout référentiel inertiel.

La relation fondamentale entre énergie et quantité de mouvement

La relation fondamentale entre énergie et quantité de mouvement s’écrit : $$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$

Démonstration

Le quadri-vecteur contravariant de la quantité de mouvement s’écrit :

$$ P^\mu = \left( \gamma mc , \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z \right) $$

En adoptant la métrique de Minkowski $(+,-,-,-)$, la forme covariante devient :

$$ P_\mu = \left( \gamma mc, -\gamma m v_x , -\gamma m v_y , -\gamma m v_z \right) $$

La composante temporelle correspond à l’énergie totale divisée par $c$ : $ \gamma mc = \frac{E}{c} = \frac{\gamma m c^2}{c} $

$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \gamma m v_x, \gamma m v_y, \gamma m v_z \right) $$

Puisque $ \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) $, on peut écrire :

$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \gamma m \vec{v} \right) $$

et, en utilisant $ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $, on obtient la forme condensée :

$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right) $$

ou encore :

$$ P^\mu = \left( \frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z \right) $$

Le vecteur covariant associé s’écrit : $$ P_\mu = \left( \frac{E}{c}, -p_x, -p_y, -p_z \right) $$

Son produit scalaire est donc :

$$ P^\mu P_\mu = \left( \frac{E}{c} \right)^2 - (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) $$

$$ P^\mu P_\mu = \frac{E^2}{c^2} - p^2 $$

Étant donné que ce produit scalaire est égal à l’invariant $ P^\mu P_\mu = m^2 c^2 $, on a :

$$ m^2 c^2 = \frac{E^2}{c^2} - p^2 $$

En multipliant par $ c^2 $, on obtient :

$$ m^2 c^4 = E^2 - p^2 c^2 $$

En réordonnant les termes, on arrive à la forme finale :

$$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $$

Il s’agit de la relation fondamentale entre énergie et quantité de mouvement en relativité restreinte. Valable pour toute particule de masse non nulle ($m>0$), elle montre que l’énergie totale $E$ inclut à la fois l’énergie de repos $m c^2$ et l’énergie cinétique associée au mouvement, $p c$.

Et ainsi de suite.