Kontinuirana slika povezanog skupa je povezana
Neka je \( X \) povezan topološki prostor i neka je \( f : X \to Y \) kontinuirano preslikavanje. Tada je slika \( f(X) \) povezan podskup prostora \( Y \).
Ova tvrdnja izražava jednu od osnovnih i najvažnijih osobina kontinuiteta u topologiji. Kontinuirano preslikavanje, kada se primeni na povezan skup, ne može narušiti njegovu unutrašnju celovitost.
Ako počnemo od povezanog prostora \( X \) i transformišemo ga pomoću kontinuiranog preslikavanja \( f \), skup \( f(X) \) ostaje «u jednom komadu». Kontinuitet sprečava razdvajanje prostora na međusobno nezavisne delove.
Upravo u tom smislu kažemo da se povezanost čuva pod kontinuiranim preslikavanjima.
Šta znači «povezan»? Topološki prostor naziva se povezan ako ga nije moguće predstaviti kao uniju dva otvorena, disjunktna i neprazna skupa. Intuitivno, povezan prostor ne može biti razložen na dva izolovana dela. Na primer, duž na realnoj pravoj je povezana, dok dve izolovane tačke čine nepovezan prostor.
Jedan konkretan primer
Razmotrimo topološki prostor
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
Zatvoreni interval \( [0,1] \) je povezan. Može se posmatrati kao neprekidna celina, bez rupa i prekida.
Definišimo preslikavanje $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ na sledeći način:
$$ f(x) = 2x $$
Ovo preslikavanje je kontinuirano, a njegova slika iznosi
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
Skup \( f(X) = [0,2] \) je ponovo interval, pa je samim tim i povezan.
Primer jasno pokazuje da kontinuirano preslikavanje ne narušava povezanost polaznog skupa.
Napomena. Da bi neki skup bio nepovezan, morao bi se moći razložiti na dva otvorena, disjunktna i neprazna skupa čija ga unija u potpunosti pokriva. To nije moguće za realni interval kao što je $ [0,2] $, jer bi svaki pokušaj razdvajanja nužno ostavio bar jednu tačku izvan razdvajanja. Zbog toga je svaki realni interval povezan.
Primer 2
Ponovo razmotrimo prostor
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
Interval \( [0,1] \) je povezan.
Sada definišimo preslikavanje \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) na sledeći način:
$$ f(x) = 0 $$
Preslikavanje \( f \) je kontinuirano i njegova slika je
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
Geometrijski posmatrano, ceo interval \( [0,1] \) sabija se u jednu jedinu tačku ($ 0 $).
I pored toga, dobijeni skup ostaje povezan. Jednočlani skup \( \{ 0 \} \) nije prazan i ne može se razložiti na odvojene delove.
Ovaj primer naglašava da čak i u slučaju ekstremnog «sažimanja» prostora, kontinuirano preslikavanje ne uništava povezanost slike.
Napomena. Kontinuirano preslikavanje može identifikovati različite tačke ili smanjiti dimenziju prostora, ali ne može proizvesti razdvajanje. Za pojavu nepovezane slike uvek je neophodan diskontinuitet.
Dokaz
Dokaz se zasniva na klasičnom argumentu reductio ad absurdum.
Pretpostavimo da je \( X \) povezan topološki prostor, ali da njegova slika pod kontinuiranim preslikavanjem, označena sa \( f(X) \), nije povezana.
U tom slučaju postojala bi dva otvorena skupa \( U \) i \( V \) koja čine separaciju skupa \( f(X) \). Drugim rečima, važilo bi
\( f(X) \subset U \cup V \),
pri čemu bi svaka tačka skupa \( f(X) \) pripadala tačno jednom od ta dva skupa.
Sledi ključni korak. Pošto je \( f \) kontinuirano preslikavanje, prapreslika svakog otvorenog skupa je otvoren skup. Prema tome, skupovi
- \( f^{-1}(U) \)
- \( f^{-1}(V) \)
predstavljaju otvorene podskupove prostora \( X \).
Oni su disjunktni, neprazni i njihova unija pokriva ceo prostor \( X \). Time dobijamo razlaganje prostora \( X \) na dva otvorena, disjunktna i neprazna skupa, što je u direktnoj suprotnosti sa njegovom povezanošću.
Dobijena kontradikcija pokazuje da je početna pretpostavka pogrešna. Zaključujemo da je slika povezanog skupa pod kontinuiranim preslikavanjem nužno povezana.
Napomena. Intuitivno, kontinuirano preslikavanje može savijati, istezati ili sabijati prostor, ali ga ne može preseći niti fragmentirati. Razdvajanje prostora na nezavisne delove uvek zahteva uvođenje diskontinuiteta.
I tako dalje.
