Povezanost podskupova

Podskup $ A $ topološkog prostora $ X $ naziva se povezanim u $ X $ kada je opremljen topologijom podprostora koju nasljeđuje od $ X $ i kada s tom topologijom čini povezani topološki prostor.

Ovakvo promatranje omogućava da se povezanost ispituje ne samo na cijelom prostoru nego i na svakom njegovom dijelu. Ključno je analizirati kakvu topologiju podskup dobiva od većeg prostora i zadržava li u toj strukturi povezanost.

U praksi to znači provjeriti može li se podskup, sa svojom induciranom topologijom, rastaviti na dva disjunktna i u toj topologiji otvorena dijela. Ako je takav rastav moguć, podskup nije povezan. Ako nije, onda jest.

Napomena. Postupak je jednostavan. Najprije se podskup opremi topologijom podprostora, a zatim se provjeri postoji li rastav na dvije neprazne, disjunktne i otvorene cjeline. Time se izravno testira povezanost.

Primjer

Uzmimo realnu pravu $ \mathbb{R} $ sa standardnom topologijom i razmotrimo sljedeći skup:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Ovaj skup izostavlja samo nulu. Lijevi dio sadrži sve brojeve od $-1$ do $0$ bez same nule. Desni dio sadrži sve brojeve od $0$ do $1$, također bez uključivanja nule.

Odsustvo jedne jedine točke dovoljno je da cijeli skup izgubi povezanost. Naime, $ A $ se prirodno dijeli na dva odvojena intervala:

$[-1,0)$
$(0,1]$

Označimo ih ovako:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Oba su ova skupa otvorena u topologiji podprostora, međusobno su disjunktna i zajedno čine cijeli skup $ A $. Upravo takva situacija pokazuje da se $ A $ može rastaviti na dva otvorena dijela, što znači da nije povezan.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Zaključak je jasan. Promatran kao podprostor $ \mathbb{R} $, skup $ A $ nije povezan.