Povezanost i zatvorenje

Neka je $ X $ topološki prostor i neka je $ C $ povezan podskup prostora $ X $. Ako skup $ A $ sadrži skup $ C $ i istovremeno je sadržan u zatvorenju skupa $ C $, tj. ako važi \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] tada je i skup $ A $ povezan podskup prostora $ X $.

Ovaj rezultat je u suštini vrlo intuitivan. Kada krenemo od povezanog skupa i dodajemo mu samo tačke koje ostaju u neposrednoj blizini tog skupa, bez ikakvog prekida ili razdvajanja, nema mehanizma koji bi mogao da naruši povezanost.

Skup $ C $ je već povezan i zato ne sadrži unutrašnju separaciju. Pošto skup $ A $ sadrži $ C $, nijedan deo početnog skupa nije uklonjen.

Ključna uloga ovde pripada uslovu $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Taj uslov garantuje da nove tačke koje eventualno dodajemo nisu izolovane od skupa $ C $. Topološki rečeno, svaka otvorena okolina takve tačke nužno ima neprazan presek sa skupom $ C $.

Zbog toga se povezanost skupa $ C $ prirodno i bez prekida prenosi na ceo skup $ A $.

Konkretan primer
Dokaz

Konkretan primer

Posmatrajmo topološki prostor $ X = \mathbb{R} $, opremljen uobičajenom topologijom, i uzmimo da je $ C $ otvoreni interval

$$ C = (0,1) $$

Skup $ C $ je povezan u $ \mathbb{R} $, jer je svaki interval realne prave povezan podskup.

Zatvorenje tog skupa je

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Sada izaberimo skup $ A $ tako da važi $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Na primer, neka je

\[ A = (0,1] \]

Odmah se vidi da važi

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

i da je

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Prema tome, skup $ A = (0,1] $ je takođe povezan u $ \mathbb{R} $.

Intuitivno, pošli smo od povezanog intervala $ (0,1) $ i dodali samo tačku $ 1 $, koja pripada njegovom zatvorenju. Takav dodatak ne stvara nikakvu separaciju, pa skup $ A $ zadržava povezanost.

Dokaz

Neka je $ X $ topološki prostor i neka je $ C \subset X $ povezan podskup.

Neka je $ A $ skup za koji važi

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

Da bismo dokazali da je $ A $ povezan u prostoru $ X $, pretpostavimo suprotno, tj. da $ A $ nije povezan.

Tada postoji separacija skupa $ A $, što znači da postoje dva otvorena skupa $ U $ i $ V $ u prostoru $ X $ takva da:

$ U $ i $ V $ su otvoreni u $ X $
$ A \subset U \cup V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ i $ A \cap V \neq \varnothing $
$ A \cap U \cap V = \varnothing $

Pošto važi $ C \subset A $, možemo pisati

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

a pritom je

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]

To znači da je $ C $ unija dva disjunktna skupa. Skupovi $ C \cap U $ i $ C \cap V $ su otvoreni u $ C $ za indukovanu topologiju, jer su preseci skupa $ C $ sa otvorenim skupovima prostora $ X $.

Time bismo dobili separaciju skupa $ C $, osim ako jedan od ta dva skupa nije prazan. Međutim, $ C $ je povezan, pa takva separacija nije moguća.

Prema tome, mora važiti

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{ili} \quad C \cap V = \varnothing \]

Bez gubitka opštosti, pretpostavimo da je

\[ C \cap V = \varnothing \]

Tada sledi da je

\[ C \subset U \]

Pošto je $ A \cap V \neq \varnothing $, izaberimo tačku

\[ x \in A \cap V \]

Iz uslova $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ sledi da je

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

Međutim, tačka $ x $ pripada otvorenom skupu $ V $, koji ne seče skup $ C $. To znači da $ x $ ima otvorenu okolinu koja nema preseka sa $ C $.

Po definiciji zatvorenja, to je nemoguće ako $ x $ zaista pripada $ \operatorname{Cl}(C) $. Dakle, dolazimo do kontradikcije:

\[ x \in V \ \text{otvoren}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]

Ova kontradikcija pokazuje da je naša početna pretpostavka pogrešna.

Zaključujemo da je

\[ A \ \text{povezan u} \ X \]

Što i završava dokaz.

I tako dalje.