Connectiviteit in de topologie

In de topologie noemen we een ruimte verbonden wanneer ze niet kan worden opgesplitst in twee afzonderlijke open deelverzamelingen. Met andere woorden: connectiviteit geeft aan in welke mate elk tweetal punten binnen een ruimte met elkaar in verbinding staat via een continu pad dat nooit buiten die ruimte treedt.

Connectiviteit vertelt ons hoe de verschillende delen van een topologische ruimte samenhangen - of juist van elkaar gescheiden zijn. Het is een van de fundamentele ideeën van de topologie, net zo belangrijk als het begrip continuïteit.

In veel takken van de wiskunde speelt connectiviteit een centrale rol. Ze helpt wiskundigen de structuur van ruimten te begrijpen en te analyseren, en maakt het mogelijk om verschillende soorten ruimten te classificeren op basis van hun interne samenhang.

Een praktisch voorbeeld

Stel je een figuur op een vlak of een veelvlak in de ruimte voor. We spreken van een verbonden ruimte als je tussen twee willekeurige punten A en B altijd een continu pad kunt tekenen dat volledig binnen de grenzen van de ruimte blijft.

Als bepaalde delen van de ruimte echter geïsoleerd zijn, dan is de ruimte niet verbonden - ook wel een ontbonden ruimte genoemd.

In het onderstaande voorbeeld is de ruimte opgesplitst in twee losse delen. Elk pad dat de punten A en B zou willen verbinden, zou de ruimte moeten verlaten - en dat mag niet volgens de definitie van connectiviteit.

Om dit idee beter te begrijpen, bekijken we een eenvoudig en herkenbaar voorbeeld.

Wanneer spreken we van een ontbonden ruimte?

Denk aan twee kamers in hetzelfde gebouw, gescheiden door een muur. Elke kamer vormt een open ruimte zonder de muren - de grens hoort er dus niet bij. De kamers zijn daardoor twee afzonderlijke open verzamelingen.

Ze lijken verbonden, maar dat zijn ze niet. Elk traject van punt A naar punt B zou door de muur moeten gaan, en die ligt buiten de gedefinieerde ruimte.

Belangrijk om te onthouden: grenzen maken geen deel uit van open verzamelingen.

Lokale connectiviteit

Een ruimte is lokaal verbonden wanneer elk punt zich bevindt in een kleine omgeving die zelf verbonden is, ook al is de ruimte als geheel dat niet. Met andere woorden: elk punt ligt in een open deel waarin alle punten onderling met elkaar in verbinding staan.

Neem opnieuw ons voorbeeld van de twee kamers in een gebouw. Hoewel de kamers samen geen verbonden ruimte vormen, heeft elk van hen lokaal een eigen verbondenheid: binnen één kamer kun je van elk punt naar elk ander punt lopen zonder de muren te overschrijden.

Bij punt A kun je dus een klein deel van de ruimte vinden waar alle punten verbonden zijn - dat is lokale connectiviteit.

Hetzelfde geldt voor punt B, dat eveneens een lokaal verbonden omgeving heeft.

Soorten connectiviteit

Topologen onderscheiden verschillende vormen van connectiviteit. De twee belangrijkste zijn:

• Topologische samenhang
  Een topologische ruimte $ X $ wordt samenhangend genoemd wanneer het niet mogelijk is haar op te splitsen in twee open, niet-lege en disjuncte deelverzamelingen waarvan de vereniging de hele ruimte vormt. Met andere woorden, de ruimte kan niet worden “gescheiden” in twee onafhankelijke gebieden.

  Voorbeeld. De ruimte (-1, 1) is samenhangend, terwijl de ruimte (-1, 0) ∪ (0, 1) dat niet is, omdat er twee open, disjuncte en niet-lege verzamelingen bestaan, namelijk (-1, 0) en (0, 1), waarvan de vereniging de volledige ruimte bedekt.
  Deze twee verzamelingen vormen dus een scheiding van de ruimte.

• Pad-samenhang (of boogsamenhang)
  Een topologische ruimte heet pad-samenhangend als voor elk paar punten A en B in die ruimte een continu pad bestaat dat de twee punten met elkaar verbindt en geheel binnen de ruimte blijft. Elke pad-samenhangende ruimte is ook samenhangend, maar het omgekeerde hoeft niet per se te gelden.
  

  Beschouw bijvoorbeeld een gesloten figuur in het vlak. Voor elk paar binnenpunten A en B kan men een continue kromme tekenen die ze met elkaar verbindt, zonder het potlood van het papier te halen of buiten de figuur te gaan.
  
  Verschil tussen boog- en pad-samenhang.  Boogsamenhang lijkt sterk op pad-samenhang, maar in dit geval moet het pad injectief zijn, wat betekent dat het zichzelf niet mag snijden en geen enkel punt tweemaal mag passeren.

• Eenvoudige connectiviteit
  Een ruimte is eenvoudig verbonden als elke gesloten lus binnen die ruimte kan worden samengetrokken tot één enkel punt. Dat betekent dat de ruimte geen holtes of gaten bevat. Elke eenvoudig verbonden ruimte is verbonden, maar niet omgekeerd. In wiskundige termen: in een eenvoudig verbonden ruimte is elke lus homotopisch equivalent aan een punt.

  Een bol is een klassiek voorbeeld: elke lus op haar oppervlak kan worden verkleind tot één punt. Een torus (donutvorm) daarentegen heeft een opening in het midden, waardoor niet elke lus kan worden samengedrukt - de ruimte is dus verbonden, maar niet eenvoudig verbonden.
  
  
  Zo'n ruimte noemen we meervoudig verbonden. Een ringvormige structuur is een typisch voorbeeld van deze categorie.

Tot slot

Connectiviteit is een eenvoudig idee met diepe gevolgen: het helpt ons begrijpen wat "één geheel" betekent in de wiskundige wereld. Binnen de reële getallen bijvoorbeeld zijn enkel de intervallen verbonden - een elegant voorbeeld van hoe abstracte concepten verrassend concreet kunnen worden.