Scheiding van een deelverzameling door open verzamelingen

Stel dat $ A $ een deelverzameling is van een topologische ruimte $ X $. Een natuurlijke vraag is dan wanneer zo’n verzameling echt uiteenvalt in twee afzonderlijke delen. In de topologie gebeurt dat door twee open verzamelingen te kiezen, $ U $ en $ V $, die samen bepalen hoe $ A $ wordt opgesplitst. Zij vormen een scheiding van $ A $ zodra aan drie klassieke voorwaarden is voldaan:

Zij overdekken $ A $ helemaal \[ A \subseteq U \cup V \]
Elk van beide raakt $ A $ op minstens één punt \[ U \cap A \neq \varnothing \] \[ V \cap A \neq \varnothing \]
Geen enkel punt van $ A $ ligt tegelijk in beide open verzamelingen \[ U \cap V \cap A = \varnothing \]

Wanneer deze drie voorwaarden samen gelden, ontstaat een duidelijk beeld: $ A $ splitst op in twee delen die nergens overlappen. Het ene deel valt volledig binnen $ U $, het andere volledig binnen $ V $. Precies dit idee vormt de kern van wat topologen een scheiding noemen.

Deze manier van werken is een van de eenvoudigste en meest gebruikte methoden om te zien of een deelverzameling in een topologische ruimte echt gescheiden kan worden.

diagram dat toont hoe een deelverzameling wordt gescheiden door twee open verzamelingen

Nota. $ U $ en $ V $ mogen elkaar buiten $ A $ best kruisen. Dat heeft geen invloed op de scheiding, zolang deze snede maar geen punten van $ A $ bevat. Voor de scheiding telt uitsluitend hoe beide verzamelingen zich ten opzichte van $ A $ gedragen.
voorbeeld waarin twee open verzamelingen elkaar buiten A kruisen zonder de scheiding te verstoren

Concreet voorbeeld

Een voorbeeld maakt het begrip meteen tastbaar. Neem $ X = \mathbb{R} $ met de standaardtopologie en beschouw de deelverzameling

$$ A = [-2,-1] \cup [1,2] $$

Deze twee gesloten intervallen liggen duidelijk los van elkaar.

We kiezen nu de open verzamelingen

$$ U = (-3,0) $$

$$ V = (0,3) $$

Op de reële lijn zien ze er als volgt uit:

reële lijn met U, V en de twee afzonderlijke delen van A

Het eerste interval, $ [-2,-1] $, ligt volledig in $ U $. Het tweede, $ [1,2] $, ligt helemaal in $ V $. De controle van de voorwaarden verloopt dan vanzelf:

1. $ A $ ligt geheel binnen de unie van beide open verzamelingen:

$$ A \subseteq U \cup V $$

2. Beide open verzamelingen snijden $ A $:

$$ U \cap A = [-2,-1] \neq \varnothing $$

$$ V \cap A = [1,2] \neq \varnothing $$

3. Geen enkel punt van $ A $ behoort tot beide verzamelingen tegelijk:

$$ U \cap V \cap A = \varnothing $$

Hiermee staat vast dat $ U $ en $ V $ de verzameling $ A $ daadwerkelijk scheiden in $ X $. Omdat $ A $ uit twee gescheiden componenten bestaat, laat dit voorbeeld bijzonder helder zien hoe een abstract begrip als scheiding zich in een concreet geval manifesteert.