Verbondenheid in de topologie

Wat betekent "verbonden" precies?

Met andere woorden: een ruimte is topologisch verbonden wanneer ze niet in twee gescheiden open delen kan worden opgesplitst die samen alles bedekken. Als dat wél kan, spreken we van een scheiding van $ X $.

Opmerking. Dit is de formele definitie van topologische verbondenheid. Later zullen we zien dat dit verschilt van pad-verbondenheid (of boog-verbondenheid): de twee begrippen vallen niet altijd samen.

Een concreet voorbeeld

We bekijken een eenvoudig voorbeeld: neem een verzameling met drie elementen,

$$ X = \{ a, b, c \} $$

en definieer daarop twee mogelijke topologieën:

• Topologie A
  $$ \mathcal{T}_A = \{ \emptyset, X, \{ a,b \}, \{ b \}, \{ b,c \} \} $$
• Topologie B
  $$ \mathcal{T}_B = \{ \emptyset, X, \{ a,b \}, \{ c \}, \{ b,c \} \} $$

De vraag is: welke van deze twee ruimten is verbonden?

1. Topologie A

We zoeken of er twee niet-lege, disjuncte open verzamelingen bestaan die samen $ X $ volledig bedekken. In deze topologie:

• $ U = \{a,b\}, V = \{b,c\} $ delen het punt $ b $, dus niet disjunct;
• $ U = \{a,b\}, V = \{b\} $ overlappen elkaar;
• $ U = \{b\}, V = \{b,c\} $ eveneens.

Er is dus geen enkel paar open verzamelingen dat aan de voorwaarden voldoet. De ruimte met topologie $A$ is dus verbonden.

2. Topologie B

We herhalen hetzelfde onderzoek voor de tweede topologie:

• $ U = \{a,b\}, V = \{b,c\} $ zijn niet disjunct (beide bevatten $b$);
• $ U = \{a,b\}, V = \{c\} $ zijn niet-lege en disjuncte open verzamelingen, en samen dekken ze de hele ruimte $X$.

Dat betekent dat $( U = \{a,b\}, V = \{c\} )$ een scheiding vormt. De ruimte met topologie $B$ is dus niet-verbonden.

Opmerking. Dit voorbeeld laat zien dat verbondenheid niet alleen afhangt van de verzameling zelf, maar ook van de topologie die we erop leggen. Met exact dezelfde punten kunnen verschillende topologieën tot totaal andere globale eigenschappen leiden.

Een tweede voorbeeld: de reële lijn zonder één punt

Neem de reële getallenlijn en verwijder één enkel punt $ n $ (bijvoorbeeld $ n = 0 $):

$$ X = (-\infty, n) \cup (n, +\infty) $$

Of, anders geschreven:

$$ X = \mathbb{R} \setminus \{n\} $$

Zijn de overgebleven punten nog verbonden?

Beschouw de verzamelingen $ U = (-\infty, n) $ en $ V = (n, +\infty) $. Deze zijn:

• open in de standaardtopologie op $ \mathbb{R} $;
• disjunct - ze hebben geen enkel gemeenschappelijk punt;
• beide niet-leeg.

Hun vereniging $ U \cup V $ is precies $ X $. Ze voldoen dus aan de definitie van een scheiding.

Daarom is de ruimte $ X = (-\infty, n) \cup (n, +\infty) $ niet-verbonden: we kunnen haar opdelen in twee open delen die niets gemeen hebben maar samen alles bedekken.

Opmerking. Het verwijderen van één enkel punt uit de reële lijn "breekt" haar continuïteit. De lijn valt uiteen in twee afzonderlijke delen - links en rechts van $n$ - die niet meer via een continue pad met elkaar verbonden kunnen worden. De ruimte is dus zowel niet-verbonden als niet pad-verbonden.

Verbondenheid en pad-verbondenheid: wat is het verschil?

De begrippen verbonden en pad-verbonden lijken op elkaar, maar zijn niet altijd hetzelfde.

Een ruimte kan verbonden zijn zonder pad-verbonden te zijn. Wat betekent dat precies?

• Topologische verbondenheid
  De ruimte kan niet worden opgedeeld in twee disjuncte, niet-lege open deelverzamelingen.
• Pad-verbondenheid
  Voor elk paar punten in de ruimte bestaat er een continu pad dat de twee punten met elkaar verbindt en volledig binnen de ruimte blijft. Als dat pad geen enkel punt tweemaal passeert, noemen we de ruimte boog-verbonden.

Belangrijk: elke pad-verbonden ruimte is verbonden, maar niet omgekeerd.

Een continue pad tussen twee punten voorkomt dat de ruimte in twee afzonderlijke open delen kan worden gesplitst. Maar het omgekeerde geldt niet: sommige ruimten zijn wél verbonden, maar hebben geen enkel pad dat twee willekeurige punten verbindt.

Voorbeeld. Een klassiek voorbeeld is de sinuskromme van de topoloog:

$$ S = \{ (x, \sin(1/x)) \mid x > 0 \} \cup \{ (0, y) \mid -1 \le y \le 1 \} $$

Deze ruimte is verbonden - ze kan niet in twee disjuncte open verzamelingen worden verdeeld - maar ze is niet pad-verbonden, omdat er geen continu pad bestaat dat een punt op de oscillaties met een punt op het verticale segment verbindt.

Dit voorbeeld illustreert hoe subtiel het begrip "verbondenheid" kan zijn in de topologie - een klein detail in de structuur van een ruimte kan het verschil maken tussen één geheel of twee gescheiden werelden.

Notities

Verdere opmerkingen over samenhangende ruimten

• Stelling: karakterisering van samenhangende ruimten aan de hand van open en gesloten (clopen) verzamelingen
  Een topologische ruimte \( X \) is samenhangend dan en slechts dan als de enige deelverzamelingen van \( X \) die zowel open als gesloten zijn (clopen), het geheel \( X \) zelf en de lege verzameling \( \emptyset \) zijn.

En zo verder.