Verbondenheid van deelverzamelingen

Een deelverzameling $ A $ van een topologische ruimte $ X $ heet verbonden in $ X $ wanneer zij wordt uitgerust met de subruimtetopologie die $ X $ aan $ A $ overdraagt en $ A $ met die topologie een verbonden geheel vormt.

Dit idee maakt het mogelijk om het begrip verbondenheid niet alleen op volledige ruimten toe te passen, maar ook op elke willekeurige deelverzameling. Het enige wat we hoeven te doen, is $ A $ bekijken met de topologie die het van $ X $ erft en nagaan welke structuur daaruit voortkomt.

De kernvraag is eenvoudig: blijft de deelverzameling verbonden zodra zij met deze geïnduceerde topologie wordt beschouwd?

Opmerking. Om vast te stellen of $ A $ verbonden is, voorzien we $ A $ van de subruimtetopologie en kijken we of het uiteenvalt in twee niet-lege, disjuncte en in deze topologie open deelverzamelingen. Als zo'n opsplitsing bestaat, dan is $ A $ niet verbonden. Bestaat die mogelijkheid niet, dan blijft $ A $ wél één geheel.

Een concreet voorbeeld

Beschouw de reële lijn $ \mathbb{R} $ met de gewone topologie en neem de verzameling :

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Hier ontbreekt precies één punt, namelijk nul. Links vinden we alle reële getallen van $-1$ tot $0$, zonder $0$ zelf. Rechts staan alle getallen van $0$ tot $1$, opnieuw zonder het punt $0$.

Juist dat ene ontbrekende punt zorgt ervoor dat de verzameling uiteenvalt in twee gescheiden intervallen:

het interval $[-1,0)$
het interval $(0,1]$

We noteren deze als:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

In de subruimtetopologie zijn zowel $ U $ als $ V $ open in $ A $. Ze overlappen niet en samen vormen ze precies de volledige verzameling $ A $. Dat is precies het kenmerk van een deelverzameling die niet verbonden is.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

We kunnen dus concluderen dat de deelverzameling $ A $, bekeken als subruimte van $ \mathbb{R} $, niet verbonden is.