Samenhang van deelverzamelingen

Een deelverzameling $ A $ van een topologische ruimte $ X $ heet samenhangend in $ X $ wanneer zij wordt beschouwd met de subruimtetopologie die $ X $ op $ A $ induceert, en $ A $ met deze topologie zelf een samenhangende ruimte vormt.

Dit begrip maakt het mogelijk om samenhang niet uitsluitend toe te passen op volledige topologische ruimten, maar ook op willekeurige deelverzamelingen daarvan. Men bekijkt de deelverzameling $ A $ eenvoudigweg met de topologie die zij van $ X $ erft en onderzoekt vervolgens welke globale structuur daaruit voortvloeit.

De centrale vraag is dan ook helder geformuleerd: blijft de deelverzameling één geheel wanneer zij wordt uitgerust met de geïnduceerde topologie?

Opmerking. Om te bepalen of een deelverzameling $ A $ samenhangend is, rusten we haar uit met de subruimtetopologie en onderzoeken we of zij kan worden opgesplitst in twee niet-lege, disjuncte deelverzamelingen die in deze topologie open zijn. Bestaat zo'n opsplitsing, dan is $ A $ niet samenhangend. Is dit onmogelijk, dan blijft $ A $ één ondeelbaar geheel.

Een concreet voorbeeld

Beschouw de reële lijn $ \mathbb{R} $ met haar gebruikelijke topologie en neem de deelverzameling:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

In deze verzameling ontbreekt precies één punt, namelijk $ 0 $. Links bevinden zich alle reële getallen van $-1$ tot $0$, zonder het punt $0$ zelf. Rechts vinden we alle getallen van $0$ tot $1$, opnieuw zonder $0$.

Juist dit ene ontbrekende punt veroorzaakt een scheiding van de verzameling in twee afzonderlijke intervallen:

het interval $ [-1,0) $
het interval $ (0,1] $

We noteren deze deelverzamelingen als:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Beschouwd met de subruimtetopologie zijn zowel $ U $ als $ V $ open verzamelingen in $ A $. Zij zijn disjunct en hun vereniging is precies de volledige deelverzameling $ A $.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Dit vormt precies een scheiding van $ A $. We concluderen dan ook dat de deelverzameling $ A $, opgevat als subruimte van $ \mathbb{R} $, niet samenhangend is.