Samenhang en sluiting

Zij $ X $ een topologische ruimte en $ C $ een samenhangende deelverzameling van $ X $. Indien een verzameling $ A $ de verzameling $ C $ bevat en bovendien is opgenomen in de sluiting van $ C $, \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] dan is ook $ A $ een samenhangende deelverzameling van $ X $.

Dit resultaat sluit goed aan bij de intuïtie. Wanneer men vertrekt van een samenhangende verzameling en daar alleen punten aan toevoegt die in nauw contact blijven met die verzameling, zonder een scheiding of onderbreking te veroorzaken, dan blijft de samenhang behouden.

De verzameling $ C $ is immers al samenhangend en kent geen interne opsplitsing. Aangezien $ A $ de verzameling $ C $ volledig bevat, wordt geen enkel deel van het oorspronkelijke geheel verwijderd.

Daarbij komt dat de voorwaarde $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ een sterke beperking oplegt. Eventueel toegevoegde punten liggen nooit los van $ C $. In topologische termen betekent dit dat elke open omgeving van zulke punten noodzakelijkerwijs punten van $ C $ bevat.

De samenhang van $ C $ strekt zich daardoor vanzelf uit tot de verzameling $ A $.

Een concreet voorbeeld
Bewijs

Een concreet voorbeeld

Beschouw de topologische ruimte $ X = \mathbb{R} $, voorzien van de gebruikelijke topologie, en neem als $ C $ een open interval.

$$ C = (0,1) $$

De verzameling $ C $ is samenhangend in $ \mathbb{R} $, aangezien elk interval op de reële as een samenhangende deelverzameling vormt.

De sluiting van $ C $ is

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Kies nu een verzameling $ A $ waarvoor geldt $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Een eenvoudig voorbeeld is:

\[ A = (0,1] \]

Men ziet meteen dat $ C $ is opgenomen in $ A $

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

en dat $ A $ is opgenomen in de sluiting van $ C $

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Daaruit volgt dat ook de verzameling $ A = (0,1] $ samenhangend is in $ \mathbb{R} $.

In woorden: vertrekkend van het samenhangende interval $ (0,1) $ is enkel het punt $ 1 $ toegevoegd, een punt dat al tot de sluiting van de oorspronkelijke verzameling behoort. Deze toevoeging creëert geen scheiding.

De verzameling $ A $ behoudt dus haar samenhang.

Bewijs

Zij $ X $ een topologische ruimte en $ C \subset X $ een samenhangende deelverzameling.

Zij $ A $ een verzameling waarvoor geldt

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

We tonen aan dat $ A $ samenhangend is in $ X $ door te redeneren per contradictie. Veronderstel dat $ A $ niet samenhangend is.

Dan bestaat er een scheiding van $ A $. Dit houdt in dat er twee open verzamelingen $ U $ en $ V $ in $ X $ bestaan zodanig dat:

$ U $ en $ V $ open zijn in $ X $
$ A \subset U \cup V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ en $ A \cap V \neq \varnothing $
$ A \cap U \cap V = \varnothing $

Beschouw nu de deelverzameling $ C $.

Aangezien $ C \subset A $, geldt:

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

en bovendien:

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]

Daarmee is $ C $ geschreven als de unie van twee onderling disjuncte deelverzamelingen.

De verzamelingen $ C \cap U $ en $ C \cap V $ zijn open in $ C $ met betrekking tot de geïnduceerde topologie, omdat zij ontstaan als doorsneden van $ C $ met open verzamelingen van $ X $.

Dit zou betekenen dat $ C $ een scheiding bezit, tenzij één van deze verzamelingen leeg is.

Aangezien $ C $ samenhangend is, kan dit niet het geval zijn.

Daaruit volgt dat één van de twee verzamelingen leeg moet zijn:

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{of} \quad C \cap V = \varnothing \]

Neem zonder verlies aan algemeenheid aan dat

\[ C \cap V = \varnothing \]

Dan geldt

\[ C \subset U \]

Omdat $ A \cap V \neq \varnothing $, kiezen we een punt

\[ x \in A \cap V \]

Uit $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ volgt dat

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

Maar $ x \in V $, en $ V $ is een open deelverzameling van $ X $.

Het punt $ x $ heeft dus een open omgeving, namelijk $ V $, die geen enkel punt van $ C $ bevat.

Volgens de definitie behoort een punt tot de sluiting van $ C $ als en slechts als elke open omgeving van dat punt een niet-lege doorsnede met $ C $ heeft.

Dit leidt tot een tegenspraak, want hier geldt:

\[ x \in V \ \text{open}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]

De veronderstelling dat $ A $ niet samenhangend is, blijkt dus onjuist.

We concluderen dat

\[ A \ \text{samenhangend is in} \ X \]

Dit besluit voltooit het bewijs.

En zo verder.