Het beeld van een samenhangende verzameling onder een continue afbeelding is samenhangend
Zij \( X \) een samenhangende topologische ruimte en zij \( f : X \to Y \) een continue afbeelding. Dan is het beeld \( f(X) \) een samenhangende deelverzameling van \( Y \).
Dit resultaat zegt in essentie dat continuïteit geen samenhang kan vernietigen. Wie vertrekt van een samenhangende verzameling en daarop een continue afbeelding toepast, eindigt opnieuw met een samenhangend geheel.
Met andere woorden, als we een samenhangende ruimte \( X \) vervormen via een continue afbeelding \( f \), dan blijft het beeld \( f(X) \) één geheel. De ruimte kan worden uitgerekt, samengedrukt of geplooid, maar zij kan niet worden opgebroken in losstaande delen.
In deze precieze zin spreekt men van het behoud van samenhang onder continue afbeeldingen.
Wat betekent "samenhangend"? Een topologische ruimte heet samenhangend wanneer zij niet kan worden geschreven als de vereniging van twee disjuncte, niet-lege open verzamelingen. Intuïtief betekent dit dat de ruimte niet in twee volledig gescheiden stukken kan worden opgesplitst. Zo is een lijnsegment samenhangend, terwijl twee afzonderlijke punten samen een niet-samenhangende ruimte vormen.
Een concreet voorbeeld
Beschouw de topologische ruimte
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
Het gesloten interval \( [0,1] \) is samenhangend. Men kan het zien als één doorlopend stuk, zonder onderbrekingen of scheidingen.
Definieer de afbeelding \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) door
$$ f(x) = 2x $$
Deze afbeelding is continu. Het beeld van het interval is
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
De verzameling \( f(X) = [0,2] \) is opnieuw een interval en dus opnieuw samenhangend.
Dit voorbeeld maakt duidelijk dat een continue afbeelding de samenhang van de oorspronkelijke verzameling behoudt.
Opmerking. Om een verzameling niet-samenhangend te maken, zou men haar moeten kunnen opsplitsen in twee disjuncte, niet-lege open verzamelingen die samen de volledige verzameling vormen. Voor een reëel interval zoals \( [0,2] \) is dit onmogelijk. Elke poging tot scheiding laat noodzakelijkerwijs minstens één punt over. Daarom is elk reëel interval samenhangend.
Voorbeeld 2
Beschouw opnieuw de ruimte
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
Ook dit interval is samenhangend.
Definieer nu de afbeelding \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) door
$$ f(x) = 0 $$
De afbeelding \( f \) is continu en haar beeld is
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
Meetkundig gezien wordt het volledige interval \( [0,1] \) samengedrukt tot één enkel punt (\( 0\)).
Toch blijft het resultaat samenhangend. De singleton \( \{ 0 \} \) is niet leeg en kan niet worden opgesplitst in afzonderlijke delen.
Dit voorbeeld laat zien dat zelfs wanneer een continue afbeelding een hele ruimte reduceert tot één punt, de samenhang van het beeld behouden blijft.
Opmerking. De afbeelding heeft het interval samengeperst zonder het te breken. Een continue afbeelding kan punten identificeren of de dimensie van een ruimte verlagen, maar zij kan geen scheiding veroorzaken. Voor het ontstaan van een niet-samenhangend beeld is altijd een discontinuïteit nodig.
Het bewijs
Het bewijs verloopt via een redenering uit het ongerijmde.
Veronderstel dat \( X \) samenhangend is, maar dat het beeld \( f(X) \) onder een continue afbeelding niet samenhangend zou zijn.
Als dat zo was, dan zouden er twee open verzamelingen \( U \) en \( V \) bestaan die samen een scheiding van \( f(X) \) vormen. Dat betekent dat
\( f(X) \subset U \cup V \),
en dat elk punt van \( f(X) \) tot precies één van beide verzamelingen behoort.
Hier komt het kernargument. Omdat \( f \) continu is, is de inverse afbeelding van een open verzameling opnieuw open. Bijgevolg geldt:
- \( f^{-1}(U) \) is een open deelverzameling van \( X \)
- \( f^{-1}(V) \) is een open deelverzameling van \( X \)
Deze twee open verzamelingen zijn disjunct, niet leeg en hun vereniging is gelijk aan de volledige ruimte \( X \).
Dat levert een opsplitsing van \( X \) op in twee disjuncte, niet-lege open verzamelingen. Dit staat haaks op de veronderstelling dat \( X \) samenhangend is.
De ontstane tegenspraak toont aan dat de oorspronkelijke aanname onjuist is. We besluiten dat het beeld van een samenhangende verzameling onder een continue afbeelding noodzakelijk samenhangend is.
Opmerking. Intuïtief kan een continue afbeelding een ruimte vervormen door haar te buigen, uit te rekken of samen te drukken. Wat zij niet kan doen, is de ruimte doorsnijden of fragmenteren. Elke echte scheiding vereist een discontinuïteit.
Enzovoort.
