Charakteryzacja zbiorów niespójnych za pomocą zbiorów otwartych

Innymi słowy, zbiór jest niespójny, jeśli jego elementy da się rozdzielić dwoma otwartymi fragmentami przestrzeni w taki sposób, że żaden punkt nie trafi jednocześnie do obu tych części. To prosty, a zarazem niezwykle skuteczny sposób opisu niespójności.

Dlaczego to kryterium jest tak praktyczne?

Ponieważ pozwala badać niespójność poprzez analizę zbiorów otwartych, czyli podstawowych elementów każdej przestrzeni topologicznej. To intuicyjna metoda, która świetnie nadaje się zarówno do prostych przykładów na prostej rzeczywistej, jak i do bardziej złożonych sytuacji na płaszczyźnie.

Pierwszy przykład: dwa oddzielone przedziały

Rozważmy zbiór w \( \mathbb{R} \) :

$$ A = [0,1] \cup [2,3] $$

Już na pierwszy rzut oka widać, że te dwa przedziały nie mają ze sobą kontaktu. Tworzą dwa niezależne fragmenty.

• \([0,1]\)
• \([2,3]\)

Aby zastosować kryterium, wystarczy znaleźć odpowiednie zbiory otwarte. Na przykład:

• \(U = (-1,1.5)\)
• \(V = (1.5,4)\)

Te dwa otwarte przedziały przechwytują dokładnie dwie części zbioru:

$$ U \cap A = [0,1] $$

$$ V \cap A = [2,3] $$

A jednocześnie:

$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$

Wynik jest jednoznaczny: zbiór jest niespójny.

Drugi przykład: dwa izolowane punkty

Spójrzmy teraz na sytuację jeszcze prostszą:

$$ A = \{1, 3\} $$

To dwa oddzielone punkty na osi. Nie ma żadnej drogi, która łączyłaby je w jedną całość.

Użyjmy tego samego schematu:

$$ U = (0,2) $$

$$ V = (2,4) $$

Każdy otwarty przedział zawiera jeden punkt:

$$ U \cap A = \{1\} $$

$$ V \cap A = \{3\} $$

oraz:

$$ U \cap V \cap A = \varnothing $$

Również tu kryterium pozwala łatwo stwierdzić niespójność.

Trzeci przykład: dwie półpłaszczyzny

Zastanówmy się teraz nad przykładem z płaszczyzny. Usuńmy z niej całą oś \(x\). Otrzymujemy:

$$ A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y>0\} \cup \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y<0\} $$

Górna i dolna półpłaszczyzna nie mają możliwości połączenia się bez przekroczenia osi. Tworzą dwie osobne części przestrzeni.

Wybierzmy dwa otwarte zbiory:

$$ U = \{(x,y) : y > -1\} $$

$$ V = \{(x,y) : y < 1\} $$

Każdy z nich obejmuje jedną z półpłaszczyzn:

• \(U \cap A\) pokrywa całą część nad osią,
• \(V \cap A\) pokrywa całą część pod osią.

A jednocześnie:

$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$

To kolejny czytelny przykład niespójności.

Dlaczego to działa? Krótki dowód

A] Zbiory otwarte istnieją, więc zbiór jest niespójny

Jeśli znajdziemy zbiory otwarte \(U\) i \(V\), które rozdzielają zbiór \(A\), możemy zdefiniować:

\[ P = U \cap A,\qquad Q = V \cap A \]

Dzięki temu widzimy, że:

• oba zbiory są niepuste,
• są otwarte w topologii podprzestrzeni,
• nie mają punktów wspólnych,
• razem pokrywają cały zbiór \(A\).

To dokładnie definicja separacji, a więc \(A\) jest niespójny.

B] Zbiór jest niespójny, więc takie zbiory istnieją

Jeśli zbiór \(A\) jest niespójny, istnieją dwa disjunktywne, niepuste i otwarte w topologii podprzestrzeni zbiory:

$$ P, Q \subset A $$

A z definicji tej topologii wynika, że muszą istnieć zbiory otwarte \(U\) i \(V\) w przestrzeni \(X\), takie że:

$$ P = U \cap A,\qquad Q = V \cap A $$

Łatwo zauważyć, że spełniają one wszystkie wymagane warunki:

• \(A \subset U \cup V\)
• \(U \cap A = P\)
• \(V \cap A = Q\)
• \((U \cap V) \cap A = \varnothing\)

Mamy więc pełną zgodność z kryterium separacji.

Wniosek

Otrzymujemy przejrzyste i szeroko stosowane kryterium: zbiór jest niespójny wtedy i tylko wtedy, gdy można go przykryć dwoma niepustymi, rozłącznymi zbiorami otwartymi, które rozdzielają go poprzez swoje przecięcia. To jedno z podstawowych narzędzi opisu struktury przestrzeni topologicznych, szczególnie przydatne w zrozumieniu, jak różne obszary przestrzeni wzajemnie się oddzielają.