Obraz przestrzeni spójnej przez odwzorowanie ciągłe jest spójny

Niech $ X $ będzie spójną przestrzenią topologiczną, a $ f : X \to Y $ odwzorowaniem ciągłym. Wówczas obraz $ f(X) $ jest spójnym podzbiorem przestrzeni $ Y $.

W praktyce oznacza to, że funkcja ciągła działająca na przestrzeń spójną nie jest w stanie „rozbić” jej na oddzielne fragmenty.

Jeżeli punktem wyjścia jest przestrzeń spójna $ X $, a następnie przekształcamy ją za pomocą odwzorowania ciągłego $ f $, to otrzymany zbiór $ f(X) $ pozostaje całością. Ciągłość działania eliminuje możliwość powstania niezależnych, rozdzielonych części.

Właśnie w tym sensie mówi się, że spójność jest własnością zachowywaną przez odwzorowania ciągłe.

Co oznacza „spójny”? Przestrzeń topologiczna nazywa się spójną, jeżeli nie można jej zapisać jako sumy dwóch rozłącznych, niepustych zbiorów otwartych. Intuicyjnie oznacza to, że nie da się jej rozdzielić na dwie całkowicie odseparowane części. Przykładowo, odcinek na prostej rzeczywistej jest spójny, natomiast dwa odizolowane punkty tworzą przestrzeń niespójną.

Przykład konkretny
Dowód

Przykład konkretny

Rozważmy przestrzeń topologiczną

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

Domknięty przedział $ [0,1] $ jest przestrzenią spójną. Można go traktować jako obiekt ciągły, bez przerw i rozłączeń.

Zdefiniujmy odwzorowanie $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ wzorem

$$ f(x) = 2x $$

Jest to odwzorowanie ciągłe, a jego obrazem jest

$$ f([0,1]) = [0,2] $$

Zbiór $ f(X) = [0,2] $ również jest przedziałem rzeczywistym, a więc pozostaje spójny.

Przykład ten jasno pokazuje, że ciągłość odwzorowania nie narusza spójności przestrzeni wyjściowej.

Uwaga. Aby zbiór nie był spójny, musiałoby istnieć jego rozbicie na dwa rozłączne, niepuste zbiory otwarte, których suma pokrywa go w całości. W przypadku przedziału rzeczywistego, takiego jak $ [0,2] $, jest to niemożliwe, ponieważ każda próba rozdzielenia pozostawia co najmniej jeden punkt „pomiędzy”. Z tego powodu każdy przedział rzeczywisty jest spójny.

Przykład 2

Rozważmy ponownie przestrzeń

$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$

Przedział $ [0,1] $ jest przestrzenią spójną.

Tym razem zdefiniujmy odwzorowanie $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ następująco

$$ f(x) = 0 $$

Odwzorowanie $ f $ jest ciągłe, a jego obrazem jest zbiór

$$ f(X) = \{ 0 \} $$

Geometrycznie cały przedział $ [0,1] $ zostaje „ściśnięty” do jednego punktu ($ 0 $).

Mimo to otrzymany zbiór nadal jest spójny. Jednopunktowy zbiór $ \{ 0 \} $ jest niepusty i nie może zostać rozdzielony na mniejsze, odrębne części.

Ten przykład pokazuje, że nawet w sytuacji, gdy odwzorowanie ciągłe redukuje całą przestrzeń do jednego punktu, spójność obrazu zostaje zachowana.

Uwaga. Odwzorowanie skompresowało przedział, lecz go nie „rozcięło”. Funkcja ciągła może utożsamiać różne punkty lub zmniejszać wymiar przestrzeni, jednak nie jest w stanie wytworzyć rozdzielenia. Aby uzyskać obraz niespójny, konieczne byłoby pojawienie się nieciągłości.

Dowód

Dowód opiera się na rozumowaniu nie wprost.

Załóżmy, że $ X $ jest przestrzenią spójną, natomiast jej obraz przez odwzorowanie ciągłe, oznaczony jako $ f(X) $, nie jest spójny.

Gdyby $ f(X) $ nie był spójny, istniałyby dwa zbiory otwarte $ U $ oraz $ V $, które tworzyłyby rozdzielenie zbioru $ f(X) $. Oznacza to, że

$ f(X) \subset U \cup V $,

a każdy punkt zbioru $ f(X) $ należałby dokładnie do jednego z tych zbiorów.

Kluczowy krok jest następujący. Ponieważ $ f $ jest odwzorowaniem ciągłym, przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym. Otrzymujemy więc:

$ f^{-1}(U) $ jest zbiorem otwartym w $ X $
$ f^{-1}(V) $ jest zbiorem otwartym w $ X $

Zbiory te są rozłączne, niepuste, a ich suma pokrywa całą przestrzeń $ X $.

Oznacza to rozkład przestrzeni $ X $ na dwa rozłączne, niepuste zbiory otwarte, co pozostaje w sprzeczności z założeniem o jej spójności.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że początkowe założenie było fałszywe. W konsekwencji obraz przestrzeni spójnej przez odwzorowanie ciągłe musi być spójny.

Uwaga. Intuicyjnie rzecz ujmując, odwzorowanie ciągłe może zginać, rozciągać lub ściskać przestrzeń, lecz nie potrafi jej przeciąć ani rozczłonkować. Rozdzielenie przestrzeni na niezależne części zawsze wymaga wprowadzenia nieciągłości.

I tak dalej.